(ĐH KHỐI D – 2010). CHO HÌNH CHĨP S.ABCD CĨ ĐÁY ABCD LÀ HÌNH VUƠ...

Bài 5 (ĐH khối D – 2010). Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, cạnh bên SA = a ; AC

. Gọi CM là

hình chiếu vuơng gĩc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, AH =

4

đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC

Giải

Chọn hệ trục Oxyz với A là gốc tọa độ, tia AB là tia Ox, tia AD là tia Oy, tia Oz là tia Az

Ta cĩA(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0).

z 1 ( ; ;0)AH AC H a aS  4 4 4

Theo giả thiết SH



(ABCD),

M AC

= 2

a , SA = a

AH =

4

A D

SH SA AH a

y

2

2

14

   H

( ; ; 14 )

a a a



S

B C

4 4 4

x a a aa  a   a CA  

SAC cân tại C nên đường cao CM cũng

Vậy ta cĩ SC =

( )

²

( )

²

( ¹⁴)

²

2

là đường trung tuyến



M là trung điểm của SA



14

( ; ; )

M .

8 8 8

Vì M là trung điểm SA nên V

_SMBC



V

_AMBC

.

  

1

³

14

  

V V



AB AC AM



a

AB



a AC



a a AM



.

Ta cĩ: 14

( ;0;0), ( ; ;0), ( ; ; )

, .

     

SMBC

AMBC

6 48



Nhận xét:

Bài tốn này cĩ thể được tọa độ hĩa với gốc tọa độ là điểm H hoặc tâm của đáy. Việc tính thể

tích SMBC thơng qua thể tích AMBC chỉ là vấn đề kĩ thuật để phép tốn dễ tính hơn, hồn tồn cĩ thể tính

trực tiếp được thể tích SMBC vì tọa độ các đỉnh đã biết.