SỰ ĐỒNG BIẾN , NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐCÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Câu 15.Khoảng nghịch biến của hàm số

³

²

là

A.(0;3) B.(2;4) C.(0; 2) D. Đáp án khác

Dạng 2 : Tìm giá trị của m để hàm số đơn điệu trên K cho trước

Phương pháp : Xét hàm số y  f x ( ) trên K

 Tính '( ) f x

 Nêu điều kiện của bài toán :

+ Hàm số đồng biến trên K  f x '( ) 0,    x K

+ Hàm số nghịch biến trên K  f x '( ) 0,    x K

 Từ điều kiện trên sử dụng các kiến thức về dấu của nhị thức bậc nhất, tam

thức bậc hai để tìm m

 CHÚ Ý : Cho hàm số ^{f x ( )  ax}

²

^{ bx c }  ^{a  0} 

( ) 0, 0

f x x  a 

    



0

  



f x x  a 

    



Xét bài toán: “Tìm m để hàm số y = f(x,m) đồng biến trên K”. Ta thực hiện theo các bước

sau:

B1. Tính đạo hàm f’(x,m).

B2. Lý luận:

Hàm số đồng biến trên K  f '(x,m) 0, x K   

m g(x), x K m g(x)

 

    

B3. Lập BBT của hàm số g(x) trên K. Từ đó suy ra giá trị cần tìm của tham số m.

Ví dụ 1: Với giá trị nào của m, hàm số ^{f (x) mx }

³

^{ 3x}

²

^  ^{m 2 x 3 }  ^ nghịch biến trên

R ?

Giải:

TXĐ: R

Ta có: f '(x) 3mx 

²

 6x m 2  

Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi f '(x) 3mx 

²

 6x m 2 0, x R     

6x 2 0 x 1

     3

: không thỏa   x R _.

 m = 0, khi đó f’(x) =

f '(x) 0, x R m 0

 

9 3m(m 2) 0

    



 m 0  _{, khi đó}

m 0 m 0

 

 

m 1

     

m 1 v m 3

2

3m 6m 9 0

 

    



Vậy, với m  1 thì thỏa mãn bài toán.

y mx 1

 

x m

 luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

Ví dụ 2: Định m để hàm số

TXĐ: ^{D R \ }  ^{ m} 

 

y' x m

 . Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi

Đạo hàm:  

y' 0, x    m  m

2

 1 0   m   1 v m 1 

     

3 3

Ví dụ 3: Tìm m để hàm số ^{y 1 mx}

³

 ^{m 1 x} 

²

^{3 m 2 x}   ¹

đồng biến trên  ^{2; } 

.

Ta có: ^{y' mx} 

²

 2 m 1 x 3 m 2       

Hàm số đồng trên  ^2;    ^{y' 0, x 2}     ^mx

²

 2 m 1 x 3 m 2           0, x 2

m x 2x 3 2x 6 0, x 2 m 6 2x , x 2

            



²



2

x 2x 3

  _{(vì x}

²

– 2x + 3 > 0)

Bài toán trở thành:

    

 

Tìm m để hàm số ^{f x}  

₂

^{6 2x m, x 2}

2x 12x 6

f ' x , f ' x 0 2x 12x 6 0 x 3 6

    ^{ }

        

2

2

Ta có

BBT:

x 2 3  6 

f’(x) 0

2

f(x)

3 0

max f (x) m m 2

  

3



Ta cần có:

^2;

. Đó là các giá trị cần tìm của tham số m.

Ví dụ 4: Định m để hàm số ^{y = x}

^{+ 3 x}

⁺ ( ^{m + 1} ) ^{x + 4 m} . Nghịch biến trên khoảng ( - ^1;1 )

D = ¡

TXĐ:

3

6 1

y ¢= x + x m + +

Đạo hàm:

( - 1;1 ) Û y ¢ £ " Î - 0, x ( 1;1 )

Hàm số nghịch biến trên khoảng

3 x

6 x m 1 0, x 1;1

( )

Û + + + £ " Î -

(1)

(1) Û m £ - 3 x

- 6 x - = 1 g x ( )

Xét BPT (1):

( ), 1;1

g x x Î -

Xét hàm số

( ) 6 6 0, 1;1

g x ¢ =- x - £ " Î - x

Có:

m £ g x " Î - x Û m £ -

( ), 1;1 10

Từ BBT suy ra

( ^{- 1;1} ) ^{Û m £ - 10}

Vậy, hàm số đồng biến trên khoảng

Bài tập:

3

2

y  x  mx  x 

1 2 2016

3 2