TRONG MẶT PHẲNG VỚI HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXY, CHO HÌNH VUÔNG ABCD, ĐIỂM G( )3;3 LÀ TRỌNG TÂM TAM GIÁC ABD

Câu 9: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD, điểm ^G

( )

^3;3 là trọng tâm tam giác ABD. Đường thẳng đi qua A vuông góc với BGvà cắt BD tại điểm ^E

( )

^{1;3 . Tìm} tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A có tung độ lớn hơn 1. Lời giải Cách 1: KA BGMHECDGọi M là trung điểm của cạnh AD, H = AE∩BM , K =GE∩AB. Vì AG⊥BE và BG⊥ AE nên G là trực tâm tam giác ABE⇒GE⊥AB, GE AD// . ⇒ = mà AM =MD⇒KG=GE⇒G là trung điểm Có KG BGAM MDAM = BM và GE BGMD= BM KG GE= −⇒ ⇒x x xcủa

^K

²_2.

^G

^E

( )

^5;3KE Ky y y .

K

G

E

AB đi qua ^K

( )

^5;3 và có một vectơ pháp tuyến ^EG=

( )

^{2;0 ⇒AB x: − =5 0.} Vì ^A∈AB⇒A

( )

^{5;a với a>1. Vì KAG= °45 ⇒∆AKG} vuông cân nên KA=KG

(

^{a 3}

)

²

^{4 a}_a⁼₁⁵⇒ − = ⇒  = . Vì a>1^{⇒ A}

( )

^{5;5 .} − = −⇒ xTa có: AC=3AG ^{5 6}

C

5 6 ^⇒C

(

^{− −1; 1}

)

^. y= ⇒ ⇒ −AD GE x DCó ³

^D

⁵_{5 0}⁶

(

^1;5

)

 − = .

D

− =AB DC x BVì

^B

^{5 0}_{5 6}

(

^{5; 1}

)

B

Cách 2: 7 H IGọi M là trung điểm của cạnh AD, H = AE∩BM, I là tâm của hình vuông ABCD và BG aBM = AM +AB = a mà 2⇒ = . AB=a. Ta có:

²

²

5BG=3BM 523BH AB a⇒ = = . Xét tam giác ABM ta có: BH BM. =AB

²

²

2 55BMBH BGVì∆BHE# ∆BIG BH BE⇒ = . 2 2⇒ = = ⇒EI=BE−BI ^{2 2 2}BE a3 a 2 aBIBI BG

2

2

GE GI EI  a   a  a= . Xét tam giác IGE có: = + =   +  =

2

2

1 1. 2 . 26 a6 6 3    . Mà ^G

( )

^{3;3 và E}

( )

^{1;3 nên GE=2. Do đó} ₃^{a =2⇒a=6.} Xét tam giác ABE có: AE

²

=AB

²

+BE

²

−2AB BE. .cos 45°5 2 5a  a a a aAE a= +  − =

2

2 2 2 2 2 52. . .3 3 2 9 Gọi ^{A x y}

( )

^{; với y>1.}  = =2 2 2

( ) ( )

AG a − + − =3 3 8x y⇒ Ta có: − + − =1 3 20 ^⇒

(

^1−x

) (

²

^{− −3 x}

)

²

⁼¹² =2 5AE=⇒  = ^⇒A

( )

^{5;5 .} ⇒x= ^{⇒4+ −}

(

^{3 y}

)

²

^=8⇒

(

^3−y

)

²

^{=4 y 1}₅Vì AC=3AG ^{5 6}EI =a = DI mà 1Có 2 16 3IG=3IA (tính chất trọng tâm) nên GE//ADvà = ⇒ ⇒ ₋

( )

3 1;5 − = ^. 5 08  ^.     −  −  − =