(3,5 ĐIỂM) CHO TAM GIÁC ABC VUÔNG TẠI A, LẤY ĐIỂM...

Bài 4. (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, lấy điểm M thuộc cạnh huyền BC (M không trùng B và C). Gọi D và E theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB AC,a) Tứ giác AEMD là hình gì? b) Gọi P là điểm đối xứng của M qua D, K là điểm đối xứng của của M qua E và I là trung điểm của DE. Chứng minh P đối xứng với K qua A

.

c) Khi M chuyển động trên đoạn BC thì I chuyển động trên đường nào ? Lời giải a) Tứ giác AEMD có A=M = = E 90 suy ra AEMD là hình chữ nhật. b) Ta có AD là đường trung trực của MP PAM cân tại A

có

AD là đường trung trực củaMP đồng thời là đường phân giác PAD=DAM và AP= AM

_.

Tương tự  KAM cân tại A

có

AE là đường trung trực của MK đồng thời là đường phân giác = và AK = AM

.

MAE EAK

Ta có

^{PAD1+DAM +MAE+EAK=2DAM+2MAE=2}

(

^DAM+MAE

)

^=180Suy ra P A K, , thẳng hàng. Mà AK =AP=AM

.

Vậy P đối xứng với K qua A

.

c) AEMD là hình chữ nhật mà I là trung điểm của DE nên I là trung điểm của AM . Gọi G và H lần lượt là trung điểm của AB và AC. Ta sẽ chứng minh ba điểm G I H, , thẳng hàng. Do G I, lần lượt là trung điểm của AB và AM nên GI là đường trung bình của tam giác ABMSuy ra:GI//BM suy ra GI//BC.

( )

¹ Do H I, lần lượt là trung điểm của AC và AM nên HI là đường trung bình của tam giác AMC. Suy ra: HI//MCsuy ra HI//BC.

( )

² Từ

( )

1 và

( )

2 ta có GI và HI cùng song song với BC nên ba điểm G I H, , thẳng hàng. Do G và H cố định nên khi M khi di chuyển trên BC thì I di chuyển trên GH.