CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1: Cho hệ phương trình:
(
a
là tham số)
1
2
2
x
a
y
a) Giải hệ phương trình khi
a
2
.
b) Giải và biện luận hệ phương trình.
c) Tìm các số nguyên
a
để hệ phương trình có nghiệm nguyên
d) Tìm
a
để nghiệm của hệ phương trình thỏa mãn
x
y
đạt GTNN.
Hướng dẫn giải
5
x
y
x
x
3
3
4
5
4
a)
Khi
a
2
hệ phương trình có dạng:
x
y
y
x
2
2
3
y
4
Vậy với
a
2
hệ phương trình có nghiệm
;
5 3
;
x y
4 4
b)
Giải và biện luận:
Từ PT
1
ta có:
y
a
1
x
a
1
3
thế vào PT
2
ta được:
1
1
1
2
2
1
2
1
2
2
2
1
x
a
a
x
a
x
a
x
a
a x
a
4
2
x
a
. Thay vào
3
ta có:
1
TH1:
a
0
, phương trình
4
có nghiệm duy nhất
a
1
1
1
2
2
2
3
2
3
2
1
a
1
a
a
a
a
a
a a
a
a
a
y
a
a
2
2
2
2
a
a
a
a
1
1
Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
;
a
;
a
x y
a
a
2
2
TH2: Nếu
a
0
, phương trình
4
vô nghiệm. Suy ra hệ phương trình đã cho vô
nghiệm.
KL:
a
0
hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
0
a
hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Với
a
0
thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
x
a
a
c)
Hệ phương trình có nghiệm nguyên:
y
a
x
a
a
a
Điều kiện cần:
2
2
2
a
a
a
Điều kiện đủ:
1
0
a
y
(nhận)
1
2
a
y
(nhận)
Vậy
a
1
hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên.
Với
a
0
thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
1
1
2
1
2
d)
Ta có
a
a
a
a
1
x
y
.
a
a
a
a
a
Đặt
t
1
a
ta được:
2
2
1
1
1
7
1
7
7
2
1 2
2
2
x
y
t
t
t
t
t
t
2
2
4
16
4
8
8
Dấu
" "
xảy ra khi và chỉ khi
1
t
4
, khi đó
a
4
Vậy
a
4
thì hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn
x
y
đạt GTNN bằng
7
8
Các chuyên đề Toán 9 – Đồng hành vào 10
x by
a