S ABC CÓ ĐÁY ABC LÀ TAM GIÁC VUÔNG CÂN TẠIB,AB=A

Bài 4 (4 điểm). Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tạiB,AB=a. Gọi Ilà trung điểm củaAC. Biết hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC là điểm H thỏa mãn BI=3IHvà góc giữa hai mặt phẳng

(

^SAB

)

^;

(

^SBC

)

^{bằng 60}

^ο

. Tính thể tích khối chóp .S ABCđã cho và tính khoảng cách giữa hai đường thẳngAB,SI theoa. Lời giải BH ACa) Từ giả thiết của bài toán ta có ^ ⊥^⊥ ⇒ ⊥

( )

⇒ ⊥AC SBH AC SBSH AC . AJ SBKẻ ⊥ ⇒ ⊥⊥ ⇒IJ SBCJ SB góc giữa hai mặt phẳng

(

^SAB

)

^và

(

^SCB

)

bằng góc giữa hai đường thẳng AJ vàCJ. Dễ thấy ∆AIJ là tam giác cân tạiJ, kết hợp với giả thiết góc giữa hai mặt phẳng

(

^SAB

)

và

(

^SCB

)

^{bằng 60}

^ο

ta có hai trường hợp sau: TH1: AJC=60

^ο

⇒AJI=30

^ο

. Ta có 6

²

²

IJ . tan 60 IJ 2 .AI

^ο

BJ BI a= =a2 ⇒ = + =∆ ∆ ⇒ = IJ BH.= AC= a ⇒ = aBIJ BSH SHIB BH . 2 2 3 2∼ BJ . Mặt khác 4

3

6 1 6=a ⇒

_{S ABC}

=

_ABC

= aNên ta có 3 3 . 18SH V SH S (đvtt).

.

TH2: AJC=120

^ο

⇒AJI=60

^ο

. = = a ⇒ = + = aTa có

²

²

2IJ . tan 30 IJ .AI

^ο

BJ BI6 62 1 2Làm tương tự TH1 ta có = a ⇒

_{S ABC}

=

_ABC

= ab) Gọi E là trung điểm của BC⇒IE AB. Do vậy ta có

(

^,

)

⁼

(

^,

( ) )

⁼

(

^,

^{( )} )

d AB SI d AB SIE d B SIE . Do ^{BI=3IH⇒d B SIE}

(

^,

( ) )

^{=3d H SIE}

(

^,

^{( )} )

^. Kẻ HK⊥IE (K thuộcIE ). Mặt khác ta lại có SH⊥

(

ABC

)

nên SH⊥IE⇒IE⊥

(

SHK

)

⇒

(

SIE

) (

⊥ SHK

)

. Kẻ ^{HF ⊥SK⇒HF ⊥}

(

^SIE

)

^{⇒d H SIE}

(

^,

( ) )

^=HJ. 1 1 1 .SH HK= + ⇒ =HF HK SH HF SH HKXét tam giác vuông SHK ta có:

₂

₂

₂

.

2

2

+HK IH aMặt khác 1 1= = ⇒ = =HK BE3 3 6BE IB . SH ta có 6HF . - Khi 6=a3= 15a- Khi 2SH ta có 2= 3a= 9a