PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC, MŨ, LOGARIT

Bài 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I. Phương trình lượng giác cơ bản Khi giải các phương trình lượng giác cuối cùng dẫn ñến phép giải các phương trình lượng giác cơ bản. Ta cần ghi nhớ bảng sau ñây: Phương trình ðiều kiện có nghiệm ðưa về dạng Nghiệm =α+πsinx = m −1≤m≤1 sinx = sinα2xk−cosx = m −1≤m≤1 cosx = cosα ±α + k2πtgx = m mọi m tgx = tgα α + kπcotgx = m mọi m cotgx = cotgα α + kπỞ bảng trên k nhận mọi giá trị nguyên (k∈Z) . ðơn vị góc thường dùng là radian. ðể thuận lợi cho việc chọn α ta cần nhớ giá trị của hàm lượng giác tại các góc ñặc biệt. ðường tròn lượng giác sẽ giúp ta nhớ một cách rõ ràng hơn. Ví dụ 1. Giải phương trình: π) = 1; c) sin(x ) = 0. π2 ; b) sin(2x - a) sin3x = 5Ví dụ 2. Giải phương trình: π) = cos(x + π). π); c) cosx = sin(2x + π; b) cos(3x - a) cos2x = cos34x 8Ví dụ 3. Giải phương trình: ) 03cos(cos

²

π − π =. Ví dụ 4. Giải phương trình: cos(πsinx)=cos(3πsinx)Ví dụ 5. Giải phương trình: cos

²

x−sin

²

( 2x)=1II. Phương trình bậc nhất ñối với sinx và cosx: asinx + bcosx = c (1) , a

²

+b

²

≠0Chia hai vế của phương trình (1) cho a

²

+b

²

, ta ñược: x cax b(1) ⇔sincos= ++ ++ (2)

2

a b

2

bðặt + = sinϕ; + = cosϕ.

2

bcKhi ñó phương trình lượng giác có dạng: cos(x - ϕ) = + (3) c ≤ ⇔ + ≥Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:

²

²

²

2

1 a b ccos cα nên ta có: Khi ñó tồn tại α∈

[ ]

0;π sao cho (1) ⇔ cos(x−ϕ)=cosα ⇔ x=ϕ±α+k2π; k∈ZVí dụ 6. Giải phương trình: 2sin4x + 3 sinx = cosx. Ví dụ 7. Cho phương trình: sinx + mcosx = 1 a) Giải phương trình với m = - 3 . b) Tìm m ñể phương trình vô nghiệm. Ví dụ 8. Giải phương trình: cos

²

x+2 3sinxcosx+3sin

²

x=1Ví dụ 9. Tìm α ñể phương trình sau có nghiệm x ∈ IR: )sin(3 + +α =Ví dụ 10. Giải phương trình: sin8x−cos6x= 3(sin6x+cos8x).∈ 0;2Ví dụ 11. Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm x :  πcos2x – msin2x = 2m – 1 Ví dụ 12. Giải phương trình: sin8x – cos6x = 3 (sin6x + cos8x). x 1Ví dụ 13. Giải phương trình: 0.cos

²

− −

²

+ =