(ĐH KHỐI D – 2007). CHO HÌNH CHĨP S.ABCD CĨ ĐÁY LÀ HÌNH THANG, A...

Bài 2 (ĐH khối D – 2007). Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình thang,

ABC

^ 

BAD

^

90

^

, BA = BC =

a, AD = 2a. Cạnh bên SA vuơng gĩc với đáy, SA = a 2 . Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của A lên SB.

Chứng minh tam giác SCD vuơng và tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD).

Giải

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, với A



O(0;0;0), B(a;0;0), D(0;2a;0), C(a;a;0), S(0;0; a 2 ). Khi đĩ

 ( ; ; 2 ), ( ; ;0)SC a a a CD a a

. 0

SC CD SC CD

   

, hay tam giác SCD vuơng tại C.

Mặt khác (SCD) cĩ VTPT là



SC CD ,

 

( a

²

2; a

²

2;2 a

²

)

z

      (SCD) : 1.(x a) 1.(y a) 2.(z 0) 0S

hay (SCD):

x y 2z2a0

.

Đường thẳng SB cĩ phương trình tham số là

  

x a t

 

0

y

  

z t

2

H ( ;0; 2 )HSBH at  t

.

D OA y AH SB AH SB   t a. 0

.

3

a a

H .

Vậy 2 2

( ;0; )

B

3 3

C

x

Từ đĩ suy ra khoảng cách từ H đến (SCD) là

2 2a a 3 3 2( ,( )) d H SCD1 1 2 3 

.



Nhận xét: Nếu so với đáp án chính thức trong việc tính d(H,(SCD)) thì lời giải này rõ ràng và trực tiếp hơn,

dễ hiểu hơn ( đáp án chính thức tính d(H, (SCD)) thơng qua việc tính tỉ số d(H,(SCD))/d(B,(SCD)) rồi lại

tính d(B,(SCD)) thơng qua thể tích tứ diện SBCD ).