XÉT HAI SỐ PHỨC Z1, Z2 THAY ĐỔI THỎA MÃN | Z1 Z2| |  Z1 Z2...

Câu 49. Xét hai số phức z

1

, z

2

thay đổi thỏa mãn | z

1

 z

2

| |  z

1

 z

2

  1 2 | 4 i  . Gọi A , B lần lượt là

giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức | | z

₁ ²

 | z

₂

|

²

. Giá trị của biểu thức A B  là

A. 37 . B.  37 . C. 4 5 . D. 8 5 .

Lời giải

Xét hình bình hành ^OMPQ , ở đó O là gốc tọa độ, M , ^Q lần lượt là điểm biểu diễn cho hai số

phức z

1

, z

2

, từ đó suy ra điểm P biểu diễn cho số phức z

1

 z

2

. Áp dụng bất đẳng thức tam

giác, ta có

|1 2 | 1 2 |1 2 |

z z i z z i z z i

          

1 2 1 2 1 2

z z

4 5 4 5.

     

1 2

Theo công thức hình bình hành, ta có ^OP

²

^{ MQ}

²

^{ 2}  ^OM

²

^{ OQ}

²

 . Từ đó suy ra

| | | | 2 | | | | | | | | 1 16 | | .

   

2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2

z  z  z  z  z  z  z  z  2  z  z

Theo chứng minh trên, ta có 21 8 5 |   z

₁

 z

₂

|

²

 21  5 nên

37 1 1 37

 

^{2 1 22}

 

²

4 5 16 4 5 16 4 5 4 5.

2   2        z  z  2        2 

   

Từ đó suy ra ^{A  1} ₂ ^{ } _ ^{16 }  ^{4  5} 

²

^{ } _ ^{ 37} ₂ ^{ 4 5 và B  1} ₂ ^{ } _ ^{16 }  ^{4  5} 

²

^{ } _ ^{ 37} ₂ ^{ 4 5 .}

Vậy A B   37 .