TRONG KHÔNG GIAN VỚI HỆ TOẠ ĐỘ OXYZ, VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU ĐI Q...
2.
Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz
, viết phương trình mặt cầu đi qua hai điểm
( 1; 2;3)
A
,
B
(1; 2;1);
biết tâm mặt cầu thuộc mặt phẳng
( ) : 2
P
x
y
z
2
0
và có
bán kính nhỏ nhất.
HẾT
Chú ý: - Học sinh không được dùng tài liệu và Máy tính cầm tay.
I.2. Có các điểm:
( 2;3), ( ; )
1 4
A
B
2 3
II.1. Có 3 nghiệm:
,
3
,
5
x
x
x
.
7
7
7
II.2.
2
2
2
2
2
y
y
x
x
3
3
PT
x
y
x
y
(1)
2
2
6 ln
6 ln 2
2
x
x
3
3
2
2
2
2
6 ln
2
6 ln
2
x
y
x
y
y
y
x
x
3
2
3
2
x
x
x
x
y
y
y
y
2
6 ln
2
2
6 ln
2
Xét hàm số:
f t
( )
t
3
2
t
6 ln
t
t
2
2
với
t
¡
.
6
2
2
.
Có
2
2
f t
t
t
'( )
3
2
3
2
2
3
t
t
( )
2
3
g u
u
Xét hàm số:
2
2
u
với
u
0
.
1
1
Có:
'( ) 1
1
0
g u
g(u) là hàm đồng biến trên
0;
3
3
( )
(0)
2
2
0
'( )
3 ( )
0
hàm số f(t) đồng biến trên R.
g u
g
3
f t
g u
Suy ra:
f x
( )
f y
( )
x
y
.
Thay vào PT(2) ta được PT:
6
3
2
3
3
27
4
2
3
4
2
x
x
x
x
x
x
3
2
3
3
x
x
x
x
x
x
x
3
4
2
4
2
4
2
3
3
3
(
1)
(
1)
4
2
4
2
1
4
2
x
x
x
1
13
1
13
x
x
x
y
3
1 0
6
6
III.1.
2
1
2
1
a b
c
a b
c
P
a b
c
2
6 ln(
2 )
a
b
2
1
6 ln(
2 )
Ta chứng minh được các BĐT quen thuộc sau:
1
1
2
)
1
a
1
b
1
ab
(1),
ab
ab
)
1
(2)
Thật vậy,
)
2
1
2 1
1
1
1
1
a b
ab
a
b
a
b
ab
a
b
2
ab
1
0
luôn đúng vì
ab
1
. Dầu “=” khi
a
b
hoặc
ab
1
.
)
1
1
0
ab
ab
ab
2
. Dấu “=” khi
ab
1
.
Do đó:
1
1
2
2
4
1
1
1
1
1
3
a
b
ab
ab
ab
4
4
16
2
ab bc ca c
a
c b c
a b
2
c
Đặt
t
a b
2 ,
c t
0
ta có:
16
1
P
f t
t
t t
2
( )
6 ln ,
0;
t
16
2
4 6
8
t
t
t
t
t
6
6
16
32
'( )
f t
t
t
t
t
BBT
t 0
4
f’(t)
-
0
+
f(t)
5+6ln4
Vậy
P
min
3 6 ln 4
khi
a
b
c
1
.
III.2.
5 1
x
2
IV.1.
( )
88
P A
567
IV.2.
2;
1
;
7;8
E
2
F
9
3
2
6
a
a
2
;
2
V
d
V.1.
V.2. + Mặt phẳng
( )
Q
là mp trung trực của AB có phương trình
x
z
2
0.
+ Gọi I là tâm và R là bán kính mặt cầu cần tìm.
x
y
z
x
y
+ Có
I
( )
P
( )
Q
nên tọa độ điểm I thỏa mãn hệ
2
2
0
x
z
z
x
2
0
2
Chọn
I t t t
( ; ;
2)
2
14
42
42
2
2 2 8
R
IA
t
R
t
I
3
; ;
+ Ta có
min
3
3
3
3
3
3 3 3
2
2
8
14
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:
x
y
z
3
3
3
3
.