TRONG KHÔNG GIAN OXYZ, CHO ĐƯỜNG THẲNG D

Câu 39. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : x−1−2 và mặt phẳng (P) :2 = y1 = z+ 2x−2y+z−1 = 0. Có bao nhiêu giá trị nguyên của αđể tồn tại một mặt phẳng (Q) chứad tạo với(P) một góc α

^◦

?A 75. B 76. C 77. D 74.Lời giải.Hiển nhiên0≤α≤90. Rõ ràng quad tồn tại mặt phẳng vuông góc với (P)nên giá trị lớn nhất củaα là90. Ta tìm giá trị nhỏ nhất của α.Gọi C là giao điểm của d và (P). Trên d lấy điểm S khác C, gọi A là

S

hình chiếu của S trên (P), B là hình chiếu của A trên giao tuyến của(Q)và (P). Khi đó

C

β

^◦

α

^◦

= ((P),(Q)) =SBC[

A

◦

β

^◦

=SCA[ = (d,(P)).

^α

B

Dễ thấydcó một vectơ chỉ phương là−→u = (2; 1;−2)và(P)có một vectơ pháp tuyến là−→n = (1;−2; 1)nên√6sinα

^◦

= SA9 .SB ≥ SASC = sinβ

^◦

=|cos (−→u ,−→n)|=Đẳng thức xảy ra khi B ≡C hay (Q)là mặt phẳng chứa d và đường thẳng∆ nằm trong(P) vuônggóc với d tại C. Hơn nữa, do α nguyên nên α ≥ 16. Vậy có 75 giá trị nguyên của α thỏa mãn yêucầu.

9

3

Z