CHO HAI SỐ THỰC A, B THỎA MÃNVỚIKKMỌI SỐ K NGUYÊN DƯƠNG. BIẾT...
Câu 41. Cho hai số thực a, b thỏa mãn
với
k
mọi số k nguyên dương. Biết giá trị nhỏ nhất của |a − b| có dạng p
q − m
ln n với
m, n, p, q ∈ Z
+. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. m + n > p + q. B. mq > np.
C. m + p = n + q. D. 2p = m + n + q.
Lời giải
nxTa biết giới hạn cơ bản lim
1 + 1
= e và bản thân hàm số f(x) =
n
x
n→+∞x ≥ 1 là hàm tăng, bị chặn trong [2; e]. Tuy nhiên, các kết quả này lại không cần sử
dụng ở bài này và nếu đi theo hướng này sẽ bị bế tắc.
Ta viết lại bất đẳng thức đã cho thành
(a + k) ln
< 1 < (b + k) ln
.
Suy ra
a < 1
ln 1 +
1k− k và b > 1
ln 1 +
1k− k.
Ta đưa về bài toán khảo sát hàm số f(x) = 1
ln 1 +
x1− x với x ∈ [1; +∞). Ta có
f
0(x) = − 1
(x
2+ x)ln
21 +
1x− 1 < 0
nên f(x) nghịch biến. Do đó max f(x) = f(1) = 1
ln 2 − 1 và
#
"
1
1
f(x) > lim
= lim
ln (1 + x) − 1
ln 1 +
x1− x
x→+∞x→0+
x − ln(1 + x)
x ln (1 + x)
f(x)
f
0(x)
Để tính giới hạn L này, ta sử dụng quy tắc L’Hospital lim
g(x) = lim
g
0(x) với dạng
vô định f (0) = g(0) = 0. Khi đó,
11 −
1+x1(1+x)2
L = lim
= 1
ln (1 + x) +
1+xx= lim
2 .
1+x+
(x+1)12