CHO HAI SỐ THỰC A, B THỎA MÃNVỚIKKMỌI SỐ K NGUYÊN DƯƠNG. BIẾT...

Câu 41. Cho hai số thực a, b thỏa mãn

với

k

mọi số k nguyên dương. Biết giá trị nhỏ nhất của |a − b| có dạng p

q − m

ln n với

m, n, p, q ∈ Z

. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. m + n > p + q. B. mq > np.

C. m + p = n + q. D. 2p = m + n + q.

Lời giải

Ta biết giới hạn cơ bản lim

1 + 1

= e và bản thân hàm số f(x) =

n

x

x ≥ 1 là hàm tăng, bị chặn trong [2; e]. Tuy nhiên, các kết quả này lại không cần sử

dụng ở bài này và nếu đi theo hướng này sẽ bị bế tắc.

Ta viết lại bất đẳng thức đã cho thành

(a + k) ln

< 1 < (b + k) ln

.

Suy ra

a < 1

ln 1 +

− k và b > 1

ln 1 +

− k.

Ta đưa về bài toán khảo sát hàm số f(x) = 1

ln 1 +

− x với x ∈ [1; +∞). Ta có

f

(x) = − 1

(x

+ x)ln

1 +

− 1 < 0

nên f(x) nghịch biến. Do đó max f(x) = f(1) = 1

ln 2 − 1 và

#

"

1

1

f(x) > lim

= lim

ln (1 + x) − 1

ln 1 +

− x

⁺

x − ln(1 + x)

x ln (1 + x)

f(x)

f

(x)

Để tính giới hạn L này, ta sử dụng quy tắc L’Hospital lim

g(x) = lim

g

(x) với dạng

vô định f (0) = g(0) = 0. Khi đó,

1 −

²

L = lim

= 1

ln (1 + x) +

= lim

2 .

+

2

Vì thế nên a ≤ 1

ln 2 − 1. Do đó

2 và b ≥ 1

|a − b| ≤

= 3

ln 2

2 − 1

ln 2 − 1

2 −

nên m = 1, n = 2, p = 3, q = 2.

Chọn C .