TRONG MẶT PHẲNG VỚI HỆ TRỤC TOA ĐỘ OXY, CHO HAI SỐ PHỨC Z1 CÓ...

Câu 49. Trong mặt phẳng với hệ trục toa độ Oxy, cho hai số phức z

₁

có điểm biểu diễn M, sốphức z

₂

có điểm biều diễn là N thỏa mãn |z

₁

| = 1, |z

₂

| = 3 và M ON÷ = 120

^◦

. Giá trị lớn nhất của|3z

₁

+2z

₂

−3i|làM

₀

, giá trị nhỏ nhất của|3z

₁

−2z

₂

+1−2i|làm

₀

. BiếtM

₀

+m

₀

=a√7+b√3+d,5+c√với a, b, c,d ∈Z. Tính a+b+c+d.A. 9. B. 8. C. 7. D. 6.Lời giải.

y

P

N

1

M

₁

◦

N

M

120

x

O

1

Gọi M

₁

là điểm biều diễn của số phức 3z

₁

, suy ra OM

₁

= 3.Gọi N

₁

là điểm biểu diễn của số phức 2z

₂

, suy ra ON

₁

= 6.Gọi P là điểm sao choOM~

1

+ON~

1

=OP~ . Suy ra tứ giác OM

1

P N

1

là hình bình hành.Do M ON÷ = 120

^◦

, suy ra M◊

₁

ON

₁

= 120

^◦

. Åã−1Dùng định lí cosin trong tam giác OM

₁

N

₁

ta tính đượcM

₁

N

₁

=9 + 36−2.3.6·= 3√7và2…định lí cosin trong tam giácOM

1

P ta có OP =9 + 36−2.3·6· 13.2 = 3√Ta có M

₁

N

₁

=|3z

₁

−2z

₂

|= 3√7;OP =|3z

₁

+ 2z

₂

|= 3√• Tìm giá trị lớn nhất của |3z

₁

+ 2z

₂

−3i|.Đặt 3z

1

+ 2z

2

=w

1

⇒ |w

1

|= 3√3, suy ra điểm biểu diễn w

1

làA thuộc đường tròn (C

1

) tâmO(0; 0) bán kínhR

₁

= 3√Gọi điểm Q

₁

là biểu diễn số phức 3i. Khi đó |3z

₁

+ 2z

₂

−3i| =AQ

₁

, bài toán trở thành tìm(AQ

1

)

max

biết điểm A trên đường tròn (C

1

). Dễ thấy (AQ

1

)

max

=OQ

1

+R

1

= 3 + 3√• Tìm giá trị nhỏ nhất của |3z

₁

−2z

₂

+ 1−2i|=|3z

₁

−2z

₂

−(−1 + 2i)|.Đặt 3z

₁

−2z

₂

=w

₂

⇒ |w

₂

|= 3√7, suy ra điềm biểu diễnw

₂

là B thuộc đường tròn (C

₂

) tâmO(0; 0) bán kínhR

1

= 3√7.Gọi điểm Q

₂

là biểu diễn số phức −1 + 2i.Khi đó |3z

₁

−2z

₂

−(−1 + 2i)| = BQ

₂

, bài toán trở thành tìm (BQ

₂

)

_min

biết điểm B trênđường tròn(C

2

).5.7−√Dễ thấy điểm Q

₂

nằm trong đường tròn (C

₂

)nên (BQ

₂

)

_min

=R

₂

−OQ

₂

= 3√Suy ra M

₀

+m

₀

= 3√7 + 3√3−√5 + 3⇒a= 3, b= 3,c=−1, c= 3.Vậy a+b+c+d= 8.Chọn đáp án B