(THAM KHẢO 2018) XÉT SỐ PHỨC Z A BI   A B ,    THỎA MÃN...

Câu 66. (Tham khảo 2018) Xét số phức ^{z a bi }

 ^{a b ,  } 

_{thỏa mãn} ^{z 4 3 i  5}_{. Tính P a b }khi

z   1 3 i    z 1 i

đạt giá trị lớn nhất.A. ^P10 B. P4 C. ^P6 D. ^P8Lời giảiGoi E là trung điểm của AB và ^{M a b}



^;



là điểm biểu diễn của số phức z.Theo giả thiết ta có: ^{z 4 3 i  5}



^{a 4}



²

^



^{b 3}



²

_{ }⁵ Tập hợp điểm biểu diễn số phức

^z

là đường tròn tâm ^I



^4;3



_{bán kính R 5}

 

1;3 1 3 1A Q z i z i MA MB           1; 1BTa có: Gọi E là trung điểm của AB, kéo dài EI cắt đường tròn tại DTa có: ^Q

²

^MA

²

^MB

²

^{2MA MB.}

2

2

2

2

2

2

2

2

Q MA MB MA MB MA MB      

2

2

2

2

MA MB AB AB

2

2

2

2

2

ME  MA MB ME      2 4 2Vì ^MElà trung tuyến trong ^MAB

2

2 2

2

2

4

2

2

Q  ME AB  ME AB      2  . Mặt khác ME DE EI ID   2 5 5 3 5MA MB 10 2 10 2Q Q     

max

M D  x x4 2( 4) 6   

D

D

EI ID M P a b2 6; 4 10           

 

²

2

4. 3 5 20 200 Q   

 

y y2 2( 3) 4 Cách 2:Đặtz a bi  . Theo giả thiết ta có:



^{a 4}



²

^



^{b 5}



²

^5.a t4 5 sin  3 5 cosb t  . Khi đó:Đặt 1 3 1 1 3 1 1Q  z i  z  i a  b  a  b

 

²

 

²

 

²

 

²



^{5 sint 5}



²

^5cos

²

^t



^{5 sint 3}

 

²

^{5 cost 4}



²

      30 10 5 sint 30 2 5 3sint 4cost    Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có:

   

2 60 8 5 2sin cos 2 60 8 5. 5 200 10 2Q  t t    10 2

_max

10 2   sin 2t a  5 6     1 4 10.P a b t b  cos 5Dấu bằng xảy ra khi