2 −3+N−22 = N2+2N−82K+2 <K=3K=3DO ĐÓ,∀N∈N,N≥3TA CÓ0<UN< N2...

2 . - Tài liệu - Các bài toán về giới hạn trong đề thi Olympic Toán 11 2 . - Tài liệu - Các bài toán về giới hạn trong đề thi Olympic Toán 11
Toán Tài liệu - Các bài toán về giới hạn trong đề thi Olympic Toán 11
2 .2 −3+n−22 = n

2

+2n−82k+2 <

k=3

Do đó,∀n∈N,n≥3ta có0<u

n

< n

2

+2n−82(n

3

+2021).Màlim n

2

+2n−82(n

3

+2021) =0nênlimu

n

=0. # Bài 11. Tínhlimu

n

vớiu

n

= 2.2

2

+3.2

3

+. . .+n.2

n

(n−1) (2

n

+1) .L Lời giảiCách 1. (Lời giải của bạn Tăng Phồn Thịnh)ĐặtS

n

=2.2

2

+3.2

3

+. . .+n.2

n

.Khi đóS

n

+2=2+2.2

2

+3.2

3

+4.2

4

+5.2

5

+. . .+n.2

n

= 2+2

2

+. . .+2

n

+ 2

2

+2

3

+. . .+2

n

+. . .+ 2

n−1

+2

n

+2

n

= 2(1−2

n

)1−2 +2

2

1−2

n−1

1−2 +. . .+2

n−1

1−2

2

1−2 +2

n

1−2

1

1−2=n.2

n+1

− 2+2

2

+. . .+2

n

=n.2

n+1

−2(1−2

n

)1−2 = (n−1).2

n+1

+2Suy raS

n

+2= (n−1).2

n+1

+2⇔S

n

= (n−1).2

n+1

.Vậylimu

n

=lim S

n

Å1ã

n

=2.(n−1) (2

n

+1) =lim (n−1).2

n+1

(n−1) (2

n

+1)=lim 2

n+1

2

n

+1 =lim 21+Cách 2.Ta cón.2

n

= (n−1).2

n+1

−(n−2).2

n

,∀n.

n

î(k−1).2

k+1

−(k−2).2

k

ó= (n−1).2

n+1

.Suy rak.2

k

=

∑

k=2

Vậylimu

n

=lim (n−1).2

n+1

ã

n

=2. (n−1) (2

n

+1) =lim 2

n+1

… # Bài 12. Tínhlimu

n

1+ 1n vớiu

n

=1

2

+ 12

2

+2

2

+ 13

2

+. . .+n

2

+ 1(n+1)

2

.sn

2

(n+1)

2

+ (n+1)

2

+n

2

Ta có(n+1)

2

=n

2

(n+1)

2

n

2

n

2

+2n+1+1+ (n+1)

2

n

4

+2n

2

(n+1) + (n+1)

2

=n

2

(n+1)

2

=n

2

+n+1

2

n(n+1) =1+ 1n(n+1) =1+1n− 1n+1.n

2

(n+1)

2

= n

2

+n+1ÅãSuy rau

n

==n+1− 11+1

k=1

∑

k+1k

2

+ 1k− 1(k+1)

2

=n+1− 11+2n+1nVậylimu

n

=1. n =limn =lim n

2

+2nn(n+1)=lim# Bài 13. Cho f(n) = n

2

+n+1

2

+1. Xét dãy số(u

n

)vớiu

n

= f(1).f(3).f(5). . . .f(2n−1)f(2).f(4).f(6). . . .f(2n) ,∀n=1,2,3, ...u

n

.Tínhlimn√Ta có f(n) = n

2

+n+1

2

+1= n

2

+1

2

+2n n

2

+1+n

2

+1= n

2

+1n

2

+2n+2= n

2

+1î(n+1)

2

+1ó.î(2n−1)

2

+1ó4n

2

+1Suy ra f(2n−1)f(2n) =(2n+1)

2

+1.(4n

2

+1)î(2n+1)

2

+1ó = (2n−1)

2

+1Khi đóu

n

=1

2

+13

2

+1.3

2

+15

2

+1. . . .(2n−1)

2

+12n

2

+2n.(2n+1)

2

+1 = 2(2n+1)

2

+1= 1… 1√Vậylimn√u

n

=limn2n

2

+2n = 1