CHO TAM GIÁC ABC CÓ BA ĐƯỜNG CAO AD, BE, CF CẮT NHAU TẠI H. QUA A VẼ...

2. - Một số ứng dụng của tích vô hướng – Chuyên đề Hình học 10 2. - Một số ứng dụng của tích vô hướng – Chuyên đề Hình học 10
Toán Một số ứng dụng của tích vô hướng – Chuyên đề Hình học 10
2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G và M là một điểm bất kỳ. Chứng minh rằng MA

2

MB

2

MC

2

MAGA MBGB MC GC GA

2

GB

2

GC

2

. . .Lời giải Ta có MAMG. MAMG. .cos MA MG; MAMG.Tương tự MBGB. MBGB MC GC. ; . MC GC.Suy ra MAGA MBGB. . MC GC. MAGA MBGB. . MC GC.Mặt khác Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ MAGA MBGB MC GC MG GA GA MG GB GB MG GC GC. . . . .MG GA GB GC GA

2

GB

2

GC

2

GA

2

GB

2

GC

2

Suy ra MAGA MBGB. . MC GC. GA

2

GB

2

GC

2

(*) Theo bất đẳng thức Cauchy ta có MA

2

MB

2

MC

2

GA

2

GB

2

GC

2

2MAGA 2MBGB 2MC GCKết hợp (*) suy ra MA

2

MB

2

MC

2

GA GB

2

2

GC

2

MAGA MBGB MC GC GA GB

2

2

GC

2

hay MA

2

MB

2

MC

2

MAGA MBGB MC GCVậy ta có điều phải chứng minh. Nhận xét: • Ta có GA 2m GB

a

2m GC

b

2m

c

, ,3 3 3GA

2

GB

2

GC

2

4 m

2

m

2

m

2

1 a

2

b

2

c

2

a

b

c

9 3Suy ra với mọi điểm M thì m MA m MB m MC 1 a

2

b

2

c

2

2MA

2

MB

2

MC

2

a

2

b

2

c

2

3MA

2

MB

2

MC

2

m MA m MB m MC3 2 . . .Đặc biệt • Với M O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, ta có OA

2

OB

2

OC

2

OAGA. OB GB. OC GC. GA

2

GB

2

GC

2

Mặt khác ta có OA OB OC R, ta có 1 1 1 2R GA GB GC 3R

2

hay m

a

m

b

m

c

9R2 suy ra m m m R

2

2

2

3R GA GB GC GA

2

GB

2

GC

2

hay

a

b

c

m m m2 3 hay m

a

2

m

b

2

m

c

2

27R

2

R

2

GA

2

GB

2

GC

2