1, U− 3, U∂∂∂Ξ∂Ξ∂ΗX44∂Y4∂X∂Y4∂XX+ ∂∂∂ = 2− ∂ U+ ∂∂ , − ∂∂ = ∂ = 22 U2U...

1 , - BAI TAP CHO 16 UNIT 12 CO DAP AN 1 , - BAI TAP CHO 16 UNIT 12 CO DAP AN 1 , - BAI TAP CHO 16 UNIT 12 CO DAP AN
BAI TAP CHO 16 UNIT 12 CO DAP AN
1, u− 3, ∂ξηx4∂y∂x+ ∂∂ =

2

− ∂ u∂ , − ∂∂ =

2

u

2

u

2

3

2

139,

2

y168Dạng chính tắc của ph−ơng trình là −∂∂u + 2∂ = 2∂u - 8u

2

u u

2

Ch−ơng 7. Ph−ơng Trình Truyền Sóng

Đ2. Ph−ơng trình vật lý - toán

Ph−ơng trình truyền sóng • Cho sợi dây rất mảnh, có độ dài l, hai mút cố định, dao động bé trong mặt phẳng Oxu theo P

3

u(x, t) ph−ơng trục Ou. Lúc không dao động dây nằm Ttrên đoạn [0, l] và độ dài của dây không thay đổi P

1

P

2

M

1

M

2

trong suốt quá trình dao động. Bài toán đòi hỏi x

1

x

2

0 lxác định độ lệch u(x, t) tại điểm hoành độ x vào thời điểm t. • Giả sử dây rất dẻo, đàn hồi với lực căng T(x, t) h−ớng theo ph−ơng tiếp tuyến của sợi dây và do đó có hệ số góc là u′

x

. Do độ dài của sợi dây không thay đổi trong lúc dao động nên lực căng T(x, t) không phụ thuộc vào thời gian. Gọi P

1

là hình chiếu của lực căng trên cung M

1

M

2

lên trục Ou

x

) u(x dxP

1

=

∫

2

∂∂

1

Gọi F(x, t) là mật độ của ngoại lực tác động và P

2

là hình chiếu của ngoại lực trên cung M

1

M

2

lên trục Ou P

2

=

∫

2

F,dx)tGọi ρ(x) là mật độ vật chất của sợi dây, u

tt

′′ là gia tốc của chuyển động và P

3

là hình chiếu của lực quán tính trên cung M

1

M

2

lên trục Ou t dxP

3

= -

∫

2

ρ ∂∂Theo nguyên lý cân bằng lực P

1

+ P

2

+ P

3

= 0 suy ra ρ ∂

∫

∂ +−x FT = 0 Do x

1

, x

2

là tuỳ ý nên ∀ (x, t) ∈ [0, l] ì [0, +∞) ta có ∂ = T(x)

2

∂ + F(x, t) ρ(x)

2

2

Nếu sợi dây đồng chất thì ρ(x) và T(x) là các hằng số. Đặt a

2

= T / ρ > 0 gọi là vận tốc truyền sóng và f(x, t) = F(x, t)/ρ là ngoại lực tác động. Khi đó độ lệch u(x, t) là nghiệm của ph−ơng trình ∂ = a

2

2

∂ + f(x, t) (7.2.1) gọi là ph−ơng trình truyền sóng trong không gian một chiều. Trong tr−ờng hợp dao động tự do không có ngoại lực tác động : f(x, t) = 0, ph−ơng trình (7.2.1) là ph−ơng trình thuần nhất. Tr−ờng hợp dao động c−ỡng bức : f(x, t) ≠ 0, ph−ơng trình (7.2.1) là ph−ơng trình không thuần nhất. Ph−ơng trình truyền nhiệt • Xét phân bố nhiệt trên vật rắn, thể tích D, truyền nhiệt S F đẳng h−ớng trong không gian Oxyz. Bài toán đòi hỏi xác định nhiệt độ u(M, t) tại điểm M(x, y, z) vào thời điểm t. M nρ• Gọi k(M) là hệ số truyền nhiệt, nρ là h−ớng truyền nhiệt và D Q

1

nhiệt l−ợng đi qua mặt kín S = ∂D từ thời điểm t

1

đến t

2

t

dVdtdivkgradudt ρ =

∫ ∫

2

kMndSQ

1

=

∫ ∫

2

∂∂

t

D

t

S

Gọi Q

2

là nhiệt l−ợng sinh bởi nguồn nhiệt trong có mật độ F(M, t) từ thời điểm t

1

đến t

2

Q

2

=

∫ ∫

2

Gọi ρ(M) là mật độ vật chất, c(M) là nhiệt dung và Q

3

là nhiệt l−ợng cần để vật rắn D thay đổi từ nhiệt độ u(M, t

1

) đến u(M, t

2

) cc =

∫ ∫

2

ρ ∂∂t dVQ

3

=

∫

ρ

(

−

)