(ĐH KHỐI D – 2008). CHO LĂNG TRỤ ĐỨNG ABC.A’B’C’ CĨ ĐÁY ABC VUƠN...

Bài 3 (ĐH khối D – 2008). Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cĩ đáy ABC vuơng, AB = BC = a, cạnh bên AA’

= a 2 . Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai

đường thẳng AM, B’C.

z Giải B’ A’

Từ giả thiết ta cĩ tam giác đáy ABC vuơng

cân tại B, kết hợp với tính chất của lăng trụ

đứng, ta chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, với

C’

B



O(0;0;0), C(a;0;0), A(0;a;0), B’(0;0; a 2 ).

3

V



BB BA BC



a .

1 2

/

Dễ thấy

_/

_/

_/

.( . . )

A y

2 2

ABC A B C

.

OB

Bây giờ ta tính khoảng cách giữa AM và B’C.

M là trung điểm của BC

M a aC    M AM a( ;0;0) ( ; ;0)x 2 2 

AM B C a a a

2

2

2

  

Mặt khác,

B C' ( ;0;a a 2)

²

, ' ( 2; ; )

.

 

2

  

AM B C AC a a

, ' . 2 2 7

 

.



   

d AM B C

Lại cĩ

AC( ;a a;0)

( , ' )

2

7 7

AM B C a

, '

Nhận xét: Theo đáp án chính thức, việc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C trong bài tốn

này hồn tồn khơng dễ, địi hỏi dựng được mặt phẳng chứa AM và song song với B’C, rồi qui việc tính

khoảng cách giữa hai đường thẳng này về khoảng cách từ C, rồi lại từ B đến mặt phẳng mới dựng đĩ. Lời

giải bằng tọa độ rõ ràng là rất ngắn gọn và trực tiếp.