TRONG KHÔNG GIAN OXYZ , CHO A  1; 3; 2 ,    B  5;1;0  ....

Câu 50. Trong không gian Oxyz , cho ^A  ^{1; 3; 2 ,  }  ^B  ^5;1;0  . Gọi   ^S là mặt cầu đường kính AB .

Trong các hình chóp đều có đỉnh A nội tiếp trong mặt cầu   ^S , gọi . A MNPQ là hình chóp có

thể tích lớn nhất. Phương trình mặt cầu tâm B và tiếp xúc với mặt phẳng  ^MNPQ  là

A.  ^{x  5}  ^{2 }  ^{y  1}  ^{2  z 2  4 . B.}  ^{x  5}  ^{2 }  ^{y  1}  ^{2  z 2  16 .}

C.  ^{x  5}  ^{2 }  ^{y  1}  ^{2  z 2  2 . D.}  ^{x  5}  ^{2 }  ^{y  1}  ^{2  z 2  8 .}

Lời giải

Mặt cầu   ^S có tâm ^I  ^{3; 1; 1  }  , bán kính R  3 .

Gọi hình chóp đều nội tiếp trong mặt cầu   ^S có cạnh đáy là x và đường cao là h .

2

x h



Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều là

R h



3 2 3 2 12 12 2

2 2 2 2

R x h h x h h

        

h

Thể tích khối chóp đều nội tiếp trong mặt cầu là

3

1 1 1 1 12 2 64

h h h

  ^{ }

2 2

12 2 . . 12 2

V x h h h h h h h     

        

3 3 3 3 3 3

  .

Dấu bằng xảy ra khi 12 h  2 h h   h  4  x  4 .

Vậy thể tích khối chóp đều nội tiếp trong khối cầu có thể tích lớn nhất khi đường cao bằng cạnh

đáy và bằng 4 . Khi đó gọi I là tâm hình vuông MNPQ , ta có

8 11

 

x x

1 3 3

  

 

   

8 1 11 1 2

AI AI AB AI AB

. 2 .

   

3 ; ;

y y I

           

 AB  

3 3 3 3 3

 

4 2

z z

2 3 3

  

 

Mặt phẳng   ^ qua I và có véc tơ pháp tuyến  _AB

Phương trình mp   ^ là:

Hay ^{( ) :}  2 x  2 y z   6 0 

Ta thấy ^{H K ,}  ^{( ),}  ^O  ^{( )}  . Vậy có hai điểm thuộc mp   ^ .