CÂU 9 (3,0 ĐIỂM). CHO ĐƯỜNG TRÒN   O VÀ ĐIỂM A NẰM NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN....

Câu 9 (3,0 điểm). Cho đường tròn   ^{O và điểm A} nằm ngoài đường tròn. Qua điểm A kẻ hai tiếp

tuyến AB và AC đến   ^{O ( B C ,} là các tiếp điểm). Kẻ tia Ax (nằm giữa hai tia AB, AO ) cắt đường

tròn tại E và F ₍ E nằm giữa A và F ) .

a) Chứng minh rằng tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh rằng BA ²  AE .AF và OEF OHF    , với H là giao điểm của AO và BC .

c) Đường thẳng qua E song song với BF cắt đường thẳng BC tại K . Đường thẳng AK cắt

đường thẳng BF tại M . Chứng minh rằng MC  2 HF .

Lời giải

3

B

F

P

M

E

K

A

H O

C

a) Chứng minh rằng các tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn.

Vì AB, AC là các tiếp tuyến của   ^{O nên   ABO  ACO  90 0}

Xét tứ giác ABOC có

  ABO ACO   90 ⁰  90 ⁰  180 ⁰ nên tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn.

* Xét  ABE và  AFB có:

  AFB 1 

ABE      2 sd EB   

 BAE - góc chung

Do đó,  ABE   AFB

AB AE AB AE

Suy ra, ^{2 .AF 1}  

AF

 AB  

   

OB OC GT

* ^{( )}

  AO là trung trực của BC

( / )

AB AC t c

 

AO BH

 ABO vuông tại B , đường cao BH nên ^{AB 2  AH .AO 2}  

AE AH

Từ (1) và (2) ta có .AF .AO

  AO 

Suy ra ^{ AEH}  ^{ A OF c.g.c}  

  AHE AFO

 

 EHOF nội tiếp

  OEF

 OHF 

Gọi giao điểm của BC và AF là P

AE EP

EK EK  

  

EK//BM , 3

FM AF BF FP

Lại có:

4

   

OHF OEF  cmt

OFE OEF    (  OEF cân)

  ^{AHE  EFO}  ^cmt 

Suy ra ^{ } AHE  FHO

Mà ^{   } AHE EHB   FHO  FHB  90 ⁰

  EHB FHB

   HB là tia phân giác ^ EHF ^{EP EH}   ⁴

FP FH

 EHF có HB là phân giác trong EHF ^ , HP HA  nên HA là đường phân giác góc

ngoài của EHF ^

EA EP

  ⁵

FA FP

Từ (3), (4) và (5) suy ra: EK EK

FM  BF  BF  FM

 HF là đường trung bình  BCM  CM  2 HF