TRONG KHƠNG GIAN OXYZ, CHO MẶT PHẲNG  P

Câu 37:

Trong khơng gian

Oxyz

, cho mặt phẳng

 

^P

^{: 2}

^x

^{   }

⁶

^{y z}

^{15 0}

^,

^A

^{(1;2; 3)}

^

^và

^B

^(3;0;1)

^.

Viết phương trình mặt cầu tâm

I

cĩ tọa độ nguyên, đi qua ba điểm

O A B

, ,

và tiếp xúc với

mặt phẳng

 

^P

A.

^x

²

^{ }



^y

¹¹

 

²

^{ }

^z

⁷



²

^

¹⁷⁰

^.

^B.



^x

^

²

    

²

^{ }

^y

¹

²

^{ }

^z

¹

²

^

⁶

^.

C.



^x

^

⁴

 

²

^{ }

^y

⁹

 

²

^{ }

^z

⁷



²

^

¹⁴⁶

^.

^D.



^x

^

³

 

²

^{ }

^y

⁴

 

²

^{ }

^z

⁴



²

^

⁴¹

^.

Lời giải

Ta cĩ



(1;2; 3)

OA





,



(3;0;1)

OB



,

^

^

_

^{OA OB}

^{ }

^,

^{   }

^

_



^{2; 10; 6}



và trung điểm của

AB

là



^{2;1; 1}



M



.

Dễ thấy

 

.

0

OAOB



nên tam giác

AOB

vuơng tại

O

. Do đĩ tâm

I

của mặt cầu nằm trên

đường thẳng



đi qua trung điểm của AB

và vuơng gĩc với mặt phẳng



^OAB



^.

x



y



z



Phương trình đường thẳng

:

2

1

1







1

5

3





,

^I



²

^

^t

^{,1 5 , 1 3}

^{  }

^t

^t



^.

Vì mặt cầu tâm

I

tiếp xúc với mặt phẳng

 

^P

^nên

d

^{I P}

^/

 



OI

  

₂

 

₂

₂

   

²

 

²



²

      t t t2 2 6 1 5 1 3 152 1 5 1 3       2 6 1 

 



t

t

t

2

1

594

696

102 0

17







   



.

t

99

Do tâm I

cĩ tọa độ nguyên nên

t



1

và

I

(3; 4; 4)

 

.

Phương trình mặt cầu là



^x

^

³

 

²

^{ }

^y

⁴

 

²

^{ }

^z

⁴



²

^

⁴¹

^.

Chọn D