2. VÀNH R ĐƯỢC GỌI LÀ VÀNH CHÍNH NẾU R LÀ MỘT MIỀN NGUYÊN VÀ MỌI...

Câu 4.2. Vành R được gọi là vành chính nếu R là một miền nguyên và mọi ideal của R đều là ideal chính (sinh bởi một phần tử). Chứng minh vành số nguyên là một vành chính. Giải. Rõ ràng vành số nguyên là một miền nguyên (vì . Bây giờ, giả sử A là một ideal của Z. Nếu { } thì . Xét trường hợp { }, khi đó tồn tại . Vì A là một nhóm cộng con của nên – . Do { } nên A có ít nhất một phần tử nguyên dương. Kí hiệu n là phần tử nguyên dương bé nhất trong A. Với , chia cho n ta có . Do nên . Nếu thì là phần tử nguyên dương trong A nhỏ hơn n, vô lý. Vậy . Khi đó . Do bất kỳ nên . Vậy A là một ideal chính. Vậy vành số nguyên là một vành chính.