CHO X, Y ∈ N* THỎA MÃN X + Y = 2011. TÌM GTNN VÀ GTLN CỦA BIỂU THỨC P...
Bài 3: Cho x, y
∈
N
*
thỏa mãn x + y = 2011.
Tìm GTNN và GTLN của biểu thức P =
x x
(
2
+ +
y
) (
y y
2
+
x
)
Giải tóm tắt:
Cách 1: Vì x, y
∈
N
*
nên
1 x y
≤ − ≤
2009
⇔ ≤ −
1
(x y
)2
≤
2009
2
Mà (x – y)
2
= (x + y)
2
– 4xy = 2011
2
– 4xy. Do đó –xy =
1
4
(x y
−
)2
−
4044121
Vậy P = 2011
3
- 6031xy = 2011
3
+ 6031
1
4
(x y
−
)2
−
4044121
Ta có 2011
3
+ 6031.
1
4
(
1
2
−
4044121
)
≤
P
≤
2011
3
+ 6031.
4
1
(
2009
2
−
4044121
)
Hay 2035205401
≤
P
≤
8120605021.
Vậy GTNN của P là 2035205401. Dấu “=” xảy ra khi x = 1006 và y = 1005 hoặc x =
1005 và y = 1006. GTLN của P là 8120605021. Dấu “=” xảy ra khi x = 2010 và y = 1 hoặc x =
1 và y = 2010
Cách 2: P = 2011
3
- 6031xy theo bài ra ta có 1 ≤ x, y ≤ 2010
Ta chứng minh 2010 ≤ xy ≤ 1005. 1006. Thật vậy
xy – 2010 = x(2011 – x) – 2010 = 2011x – x
2
– 2010 = 2010x – x
2
+ x – 2010
= (2010 – x)(x – 1) ≥ 0 (vì 1 ≤ x, y ≤ 2010)
Ta có xy ≥ 2010. Do đó P ≤ 8120605021
Mặt khác 1005.1006 – xy = 1005. 1006 – x(2011 – x) = … = (1005 – x)(1006 – x)
≥
0
Ta có 1005.1006 – xy
≥
0 Do đó 2035205401
≤
P