BÀI 3. GỌI M LÀ KHÔNG GIAN CÁC DÃY SỐ THỰC X={ΛK}K BỊ CHẶN VỚI CHUẨN K...
2. Giả sử ta có dãy
{x
n
} ⊂ C, x
n
=
{λ
n
k
}
k
mà
x
n
hội tụ về
a
=
{a
k
} ∈
m
ta cần chứng minh
a
∈ C
. Muốn vậy, ta chỉ cần chứng minh
a
là dãy Cauchy.
Cho
ε >
0, ta tìm được
n
0
sao cho
|λ
n
k
0
−
a
k
|
=
kx
n
0
−
ak
< ε/3(do
a
= lim
x
n
trong
m)
sup
k
Vì
x
n
0
=
{λ
n
k
0
}
k
∈ C
nên nó là dãy Cauchy, do đó có
k
0
sao cho:
∀k, l
≥
k
0
⇒ |λ
n
k
0
−
λ
n
l
0
|
< ε/3.
Với
k
0
này, ta có:
∀k, l
≥
k
0
⇒ |a
k
−
a
l
| ≤ |a
k
−
λ
n
k
0
|
+
|λ
n
k
0
−
λ
n
l
0
|
+
|λ
n
l
0
−
a
l
|
< ε/3 +
ε/3 +
ε/3 =
ε
Vậy
{a
k
}
là dãy Cauchy (đpcm).