TRONG KHÔNG GIAN OXYZ, CHO ĐIỂM E(2; 1; 3), MẶT PHẲNG(P)

Câu 45. Trong không gian Oxyz, cho điểm E(2; 1; 3), mặt phẳng(P) : 2x+ 2y−z−3 = 0 và mặtcầu (S) : (x−3)

²

+ (y−2)

²

+ (z−5)

²

= 36. Gọi ∆là đường thẳng đi qua E, nằm trong mặt phẳng(P) và cắt (S) tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của đường thẳng∆làx= 2 + 4tx= 2 + 9tx= 2 +tx= 2−5ty= 1 + 3t.. C. B.y= 1 + 9ty = 1−t.. D.A.z = 3−3tz = 3z = 3 + 8tLời giải.Mặt cầu (S) : (x−3)

²

+ (y−2)

²

+ (z−5)

²

= 36, có tâm I(3; 2; 5) và bán kínhR = 6.EI~Ta có: EI~ = (1; 1; 2)⇒EI =1

²

+ 1

²

+ 2

²

=√6<6 =R.=√Do đó điểm E nằm trong mặt cầu (S).®E ∈∆Ta lại có E ∈(P) và∆⊂(P) nên giao điểm của (∆) và (S) nằm trên đường tròn giao tuyến (C)tâmK của mặt phẳng(P)và mặt cầu(S), trong đóK là hình chiếu vuông góc củaI lên mặt phẳng(P).Già sử ∆∩(S) ={A;B}. Độ dài AB nhỏ nhất khi và chỉ khi d(K,∆) lớn nhất.Gọi F là hình chiếu của K trên (∆) khi đó d(K,∆) =KF ≤KE.Dấu “= ”xảy ra khi và chỉ khi F ≡E.®IK ⊥(P)®IK ⊥∆Ta cóKE ⊥∆ ⇒KE ⊥∆ ⇒IE ⊥∆.Mặc khác ~n

_(P)

, EI= (5;−5; 0), cùng phương với~u= (1;−1; 0).®∆⊂(P)Vì∆⊥IE nên ∆có một vectơ chỉ phương là ~u= (1;−1; 0).y= 1−tSuy ra phương trình đường thẳng ∆ :z = 3.