CÓ BAO NHIÊU SÔ NGUYÊN M∈[−2021; 2021]ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH 6X−2M= L...

Câu 47. Có bao nhiêu sô nguyên m∈[−2021; 2021]để phương trình 6

^x

−2m= log

^√

³

₆

(18(x+ 1) +12m)có nghiệm?A. 211. B. 2020. C. 2023. D. 212.Lời giải.Phương trình6

^x

−2m= log

^√

³

₆

[18(x+ 1) + 12m]⇔ 6

^x

= 2m+ 3 log

₆

[6(3x+ 2m+ 3)]⇔ 6

^∗

= 2m+ 3 [1 + log

₆

(3x+ 2m+ 3)]⇔ 6

^x

= 3 log

₆

(3x+ 2m+ 3) + 2m+ 3. (∗)Đặt y= log

₆

(3x+ 2m+ 3)⇔6

^y

= 3x+ 2m+ 3. (1)Khi đó(∗) trở thành 6

^∗

= 3y+ 2m+ 3. (2)Lấy(1) trừ vế với vế cho (2), ta được 6

^y

−6

^x

= 3x−3y ⇔6

^x

+ 3x= 6

^y

+ 3y. (3)Xét hàm số f(t) = 6

^t

+ 3t, t∈R.Ta có f

⁰

(t) = 6

^t

ln 6 + 3>0,∀t∈R. Suy ra hàm sốf(t) đồng biến trên R.Mà(3) ⇔f(x) = f(y)⇔x=y.Thay y=x vào PT(1), ta được 6

^x

= 3x+ 2m+ 3 ⇔6

^x

−3x= 2m+ 3.Å 3ãXét hàm số g(x) = 6

^∗

−3x, với x∈R. Ta có g

⁰

(x) = 6

^∗

ln 6−3⇒g

⁰

(x) = 0⇔x= log

₆

.ln 6Bảng biến thiên+∞−∞ log

₆

x− 0 +g

⁰

(x)g(x)0,81Å≈0,81⇒m≥ −1,095.log

₆

3Từ đó suy ra phương trình đã cho có nghiệm ⇔2m+ 3≥gVậy có2023 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu.Chọn đáp án C