CHO HÀM SỐ Y  F X   CÓ ĐẠO HÀM LIÊN TỤC TRÊN   0;1 ĐỒNG THỜI F ...

Câu 154: Cho hàm số

^{y  f x}  

có đạo hàm liên tục trên

  ^0;1

đồng thời

^f   ^{0  0, f}   ^{1  1}

^và

f x dx

1

2

2

' 1 1

   



^bằng?

   

f x x dx

 

 

. Tính tích phân

¹

 

 x

0

1

2

ln 1 2

0

A.

¹ ₂ ^{ln 1}

²

 ^{ 2} 

^B.

^{2 1} ₂ ^{ ln 1}

²

 ^{ 2} 

C.

¹ ₂ ^{ln 1}  ^{ 2} 

^D.

 ^{2 1 ln 1 }   ^{ 2} 

 

' 1 . 1 ' 1

  

      

Lời giải: Theo bất đẳng thức Holder ta có:

¹

 

²

²

¹

₂

¹

 

²

  

x

f x x dx 1 dx f x dx

0

0

0

1 1

ln 1 ln 1 2

Mặt khác

¹

2



²

 ^{ }

1 dx x x 0

 

x     

k k

   

f x x f x

Vậy đẳng thức xảy ra khi

^'   ^{. 1}

⁴

²

₄

₂

^'  

₂

 

x x



^nên

^{k  ln 1}  ^{1  2} 

^{. Vậy}

^{f x   } _{ln 1}  _ ¹ ₂  ^.ln  ^{x  1  x}

²

 ^{ C}

' 1

f x dx 

Vì

¹

 

 

f

0 0

 

1 ln 1 2

Vì

 

 

 

^nên

C  0

. Do đó

¹

 

₂

 

1 2

 

. Chọn đáp án C.

x  

   

2

3 0

x xy