CHO X, Y N* THỎA M N X + Y = 2011. ÃTÌM GTNN VÀ GTLN CỦA BIỂU THỨC P...
Bài 3: Cho x, y N
*
thỏa m n x + y = 2011.
ã
Tìm GTNN và GTLN của biểu thức P =
x x
2
y
y y
2
x
Giải tóm tắt:
Cách 1: Vì x, y N
*
nên
1
x y
2009
1
x y
2
2009
2
4
Mà (x – y)
2
= (x + y)
2
– 4xy = 2011
2
– 4xy. Do đó –xy =
1
x y
2
4044121
Vậy P = 2011
3
- 6031xy = 2011
3
+ 6031
1
x y
2
4044121
Ta có 2011
3
+ 6031.
1
4
1
2
4044121
P 2011
3
+ 6031.
1
4
2009
2
4044121
Hay 2035205401 P 8120605021.
Vậy GTNN của P là 2035205401. Dấu “=” xảy ra khi x = 1006 và y = 1005 hoặc x = 1005 và y = 1006.
GTLN của P là 8120605021. Dấu “=” xảy ra khi x = 2010 và y = 1 hoặc x = 1 và y = 2010
Cách 2: P = 2011
3
- 6031xy theo bài ra ta có 1 x, y 2010
Ta chứng minh 2010 xy 1005. 1006. Thật vậy
xy – 2010 = x(2011 – x) – 2010 = 2011x – x
2
– 2010 = 2010x – x
2
+ x – 2010
= (2010 – x)(x – 1) 0 (vì 1 x, y 2010)
Ta có xy 2010. Do đó P 8120605021
Mặt khác 1005.1006 – xy = 1005. 1006 – x(2011 – x) = … = (1005 – x)(1006 – x)
0
Ta có 1005.1006 – xy 0 Do đó 2035205401 P