CHO X, Y  N* THỎA M N X + Y = 2011. ÃTÌM GTNN VÀ GTLN CỦA BIỂU THỨC P...

Bài 3: Cho x, y  N

*

thỏa m n x + y = 2011.

ã

Tìm GTNN và GTLN của biểu thức P =

x x

2

y

y y

2

x

Giải tóm tắt:

Cách 1: Vì x, y  N

*

nên

1

 

x y

2009

 

1

x y

2

2009

2

4

Mà (x – y)

2

= (x + y)

2

– 4xy = 2011

2

– 4xy. Do đó –xy =

1

x y

2

4044121

Vậy P = 2011

3

- 6031xy = 2011

3

+ 6031

1

x y

2

4044121

Ta có 2011

3

+ 6031.

1

4

1

2

4044121

 P  2011

3

+ 6031.

1

4

2009

2

4044121

Hay 2035205401  P  8120605021.

Vậy GTNN của P là 2035205401. Dấu “=” xảy ra khi x = 1006 và y = 1005 hoặc x = 1005 và y = 1006.

GTLN của P là 8120605021. Dấu “=” xảy ra khi x = 2010 và y = 1 hoặc x = 1 và y = 2010

Cách 2: P = 2011

3

- 6031xy theo bài ra ta có 1  x, y  2010

Ta chứng minh 2010  xy  1005. 1006. Thật vậy

xy – 2010 = x(2011 – x) – 2010 = 2011x – x

2

– 2010 = 2010x – x

2

+ x – 2010

= (2010 – x)(x – 1)  0 (vì 1  x, y  2010)

Ta có xy  2010. Do đó P  8120605021

Mặt khác 1005.1006 – xy = 1005. 1006 – x(2011 – x) = … = (1005 – x)(1006 – x)

 0

Ta có 1005.1006 – xy  0 Do đó 2035205401  P