5+ = + = = −A C B D A B 2= −= +Z 2 2Z 1 2+ = = =2 2A B 4 C D 2T 1 2+ =C D 4V Y Ậ MAXP 8 =

1,5

+ = + = = −

a c b d a b 2

= −

= +

z 2 2

z 1 2

+ = = =

2

2

a b 4 c d 2

t 1 2

+ =

c d 4

V y  ậ MaxP 8 = .

� + − − + = � − + − =

2

2

2

2

x y 4x 2y 1 0 (x 2) (y 1) 4

� �

Cách 2: 

0,5

+ − − + = − + − =

z t 4z 2t 1 0 (z 2) (t 1) 4

= + α = + α∃α β, R� �

th a mãn:  ỏ

x 2 2cos ; y 1 2sin= + β = + β1z 2 2cos ; y 1 2sin4 1sin

=8

2sin

Khi đó: P = (x­z)(y­t) = 4

¹2 sin()

Đ ng th c x y ra  ẳ ứ ả

�^{sin 2}α =^{sin 2}β = −^sin(α + β =^{) 1}

 

α = + ππ4 kβ = +π π − + π

    (k, m

^Z

)

2m (k 1)4= +x 2 2xy 1 2y

   

     ho c     ặ

= −zz 2 2tt 2 2+ + + =

 x

²

 ­ 2(3y­1)x + y

²

 + 2y = 0   (*)

x 2 y 2 6y x= =x 1;x 1

Xét dãy s  {x ố

_n

} xác đ nh b i công th c:  ị ở ứ

⁰

¹

= − − ∀x

₊

6x

₊

x 2   n N

n 2

n 1

n

Ta có: {x

n

} tăng và 

x

_n

�N n N

^*

∀ �

^*

. 

V i m i  ớ ọ

n N

 ta có: 

x

n 2

₊

=6x

n 1

₊

−x

n

−2�x

n 2

₊

+x

n

=6x

n 1

₊

−2     (1)+ + = + + = + + ∀x x 2 6 x x 2 x x 2   n N

n 2

n

n 2

n

n 1

n 1

*

� � �

+

+

+

−

x x x

+

+

n 1

n 1

n

2

+ + = + + ∀

2

2

*

� �x x x 2x x x x 2x    n N

+

+

+

+

n 2 n

n

n

n 1

n 1 n­1

n 1

5 đi m

ể

= ∀x x ­ x ­ 2x x x ­ x ­ 2x    n N

n 2 n

n 1

n 1

n 1 n­1

n

n

= = ∀x x ­ x ­ 2x  x x ­ x ­ 2x  0   n N

+

+

+

n 2 n

n 1

n 1

2 0

1

1

= + ∀

n 2 n

2

n 1

n 1

x x x 2x  � n N       (2)T  (1), (2) suy ra ừ x , x

_n

_{n 2}

₊

 là hai nghi m c a phệ ủ ương trình:+ + = ∀t ­ 2(3x ­1)t x 2x 0   n N

n 1

n 1

n 1

x ­ 2(3x ­1)x x 2x 0  n N

n

n 1

n

n 1

n 1

Suy ra (x , x

_n

_{n 1}

₊

) là nghi m c a phệ ủ ương trình (*) ∀n N.Do đó ta có đi u ph i ch ng minh.ề ả ứ3

A

5đi mể

N

Q

H

I

M

B

C

P

D

G i H là tr c tâm tam giác. ọ ự

Tam giác ANH và BMH đ ng d ng nên:  ồ ạ AN = BM

NH MH     (1)

Tam giác ANQ và BMP đ ng d ng nên:  ồ ạ AN = BM

NQ MP     (2)

T  (1) và (2) suy ra  ừ NQ = MP

NH MH   

NQ MH IP . . 1

�  

NH MP IQ =

Ba đi m M, I, N th ng hàng (Đ nh lí Menelaus) ể ẳ ị

( ( ) )

³

^{( )}

²

^{( )}

²

^{( ) (}

³

⁾

⁴

^{( )}

f x f y

+ =

4x f y 6x f (y)

+ +

4x f (y)

+

f (y)

+ − ∀

f x x,y R   (1)

+ Nh n xét: ậ ^{f x}

( )

0  th a mãn yêu c u bài toán.ỏ ầ+ Xét trường h p: ợ ^{f x}

( )

0 . Đ t a = f(0).ặThay  x 0=  vào (1) ta được ^{f f y}

( ( ) )

⁼

(

^{f y}

^{( )} )

⁴

^{+ ∀a, y}

^ﾷ

      (2)Ti p t c thay x b i ế ụ ở

(

^{−f (x)}

)

 vào (1) ta được

( ( ) )

³

( )

²

²

³

⁴

( )

− = − + − + −

f f y f (x) 4(f (x)) f y 6(f (x)) (f (y)) 4f (x)(f (y)) (f (y)) f f (x)

∀

ﾷ

x,y        

( ) ( ^{( ) ( )} )

⁴

( ^{( )} ) ( ^{( )} )

⁴

( ) ( )

f f y −f x = f y −f x +f f x − f x     x, y∀� �

ﾷ

  (3)T  (2) và (3) suy ra ừ ^{f f y}

( ( ) ( )

^{−f x}

)

⁼

(

^{f y}

( ) ( )

^{−f x}

)

⁴

^{+a    x, y∀}

^ﾷ

  ⁽⁴⁾Gi  s  ả ử x

₀

ﾷ

 th a mãn ỏ f x

( )

0

0. Thay y x=

0

 vào (1) ta thu được:

( ( )

⁰

) ^{( )}

³

^{( )}

⁰

²

⁽

⁰

⁾

²

⁽

⁰

^{) (}

³

⁰

⁾

⁴

f x f x

+ − − =

f x 4x f x

+

6x f(x )

+

4x f (x )

+

f(x )

∀

x R

V  ph i là đa th c b c ba theo bi n x nên nó là hàm s  có t p giá tr  làế ả ứ ậ ế ố ậ ị  

ﾷ

. V y nên, v  trái cũng là m t hàm s  có t p giá tr  là ậ ế ộ ố ậ ị

ﾷ

 ∀x

ﾷ

 đ u t n t i ề ồ ạ u,v

ﾷ

 đ  ể ^{f u}

( ) ( )

^{−f v =x.}Do đó t  (4) suy ra:ừ  

( ) ( ( ) ( ) ) ( ^{( ) ( )} )

⁴

⁴

f x =f f u −f v = f u −f v + =a x + ∀a, x

ﾷ

Th  l i d  th y: ử ạ ễ ấ ^{f x}

( )

^=x

⁴

^{+ ∀a, x}

^ﾷ

 (v i a là h ng s ) th a mãn (1)ớ ằ ố ỏV y  ậ ^{f x}

( )

0   và  ^{f x}

( )

^=x

⁴

^{+ ∀a, x}

^ﾷ

  (v i a là h ng s ) là các hàm sớ ằ ố ố c n tìm.ầ­­­­­­­­­­­H t­­­­­­­­­­­ế