BIẾT RẰNG HAI SỐ PHỨC Z Z1, 2 THỎA MÃN Z1− − 3 4 I = 1 VÀ 2 13 4 2Z − − I =

Câu 39: Biết rằng hai số phức z z

,

thỏa mãn z

− − 3 4 i = 1 và

1

3 4 2

z − − i = . Số phức z có phần thực

là a và ph ầ n ả o là b th ỏ a mãn 3 a − 2 b = 12 . Giá tr ị nh ỏ nh ấ t c ủ a P = − z z

+ − z 2 z

+ 2 b ằ ng

A.

⁹⁹⁴⁵ .

P = 11 B. P

= − 5 2 3. C.

⁹⁹⁴⁵ .

P = 13 D. P

= + 5 2 5.

L ờ i gi ả i

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, xét

điể m ^I ( ) ^{3; 4 bi} ể u di ễ n s ố ph ứ c

3 4i + ; điểm ^J ( ) ^6;8 biểu diễn số

phức 6 8i + . ^{M a b} ( ) ^; biểu diễn số

phức z . Điểm A và B lần lượt biểu

di ễ n các s ố ph ứ c z

, 2 z .

Theo đề bài:

z − − i = ⇒ AI = 1

3 4 1

⇒ A thu ộ c ( ) ^{I ;1 .}

3 4 1

z − − i = 2 ⇔ 2 z

− − 6 8 i = 1

1

⇔ BJ = ^{⇔ ∈ B} ( ) ^{J ;1 .}

Vì 3 a − 2 b = 12 nên M thuộc đường thẳng ( ) ^{d : 3 x − 2 y = 12 .}

Ta có: P = − z z

+ − z 2 z

+ = 2 MA MB + + = 2 MA + AI + MB + BJ ≥ MI + MJ .

G ọ i J ' đố i x ứ ng v ớ i J qua d thì MJ ' = MJ ⇒ MI + MJ = MI + MJ ' ≥ IJ ' . D ấ u b ằ ng x ả y ra khi và ch ỉ

khi M trùng v ới giao điể m S c ủ a IJ ' và đườ ng th ẳ ng d.

Giả sử ^{J '} ( ) ^{a b ; . Ta có: JJ  ' =} ( ^{a − 6; b − 8} ) ^.

 

( ) ( ) ( ) ( )

'.

0 6; 8 . 2;3 0 2 6 3 8 0 2 3 36

JJ u = ⇔ a − b − = ⇔ a − + b − = ⇔ a + b =

(1)

 

a + b +

L ại có trung điể m c ủ a JJ ' là điể m có t ọa độ ^{6 ; 8}

 

  thu ộc đườ ng th ẳ ng d nên

2 2

+ +

  −   = ⇔ + − − = ⇔ − =

a b

6 8 3 3

   

3 2 12 9 8 12 11

a b a b

    (2)

2 2 2 2

' 9945

⇒ = . Ch ọ n C.

J  

T ừ (1) và (2) suy ra ' ^{138 64} ;

 

13 13

IJ 13