BÀI 3. GỌI M LÀ KHÔNG GIAN CÁC DÃY SỐ THỰC X={ΛK}K BỊ CHẶN VỚI CHUẨN K...
2. Ký hiệu
C
là tập hợp các dãy số hội tụ. Chứng minh
C
là không gian con đóng của
m.
Giải.
1.
•
Với mỗi
k
∈
N
∗
, ta có:
|λ
n
k
−
λ
m
k
| ≤
sup{|λ
n
k
−
λ
m
k
|
:
k
∈
N
∗
}
=
kx
n
−
x
m
k
và do
{x
n
}
là dãy Cauchy nên
{λ
n
k
}
n
là dãy Cauchy trong
R
và do vậy, hội tụ.
Đặt
a
k
= lim
n→∞
λ
n
k
và lập dãy số
a
=
{a
k
}
k
.
•
Ta chứng minh
a
∈
m
và
lim
kx
n
−
ak
= 0
Cho
ε >
0, ta tìm được
n
0
sao cho
∀n, m
≥
n
0
⇒ kx
n
−
x
m
k
< ε
Ta có:
|λ
n
k
−
λ
n
k
|
< ε
∀k
∈
N
∗
,
∀n, m
≥
n
0
⇒
|λ
n
k
−
a
k
|
≤
ε
∀k
∈
N
∗
,
∀n
≥
n
0
(cho
m
→ ∞
trong bđt trên)
⇒
sup
|λ
n
k
−
a
k
| ≤
ε
∀n
≥
n
0
.
k
Như vậy, ta đã chứng minh:
*
(x
n
−
a)
∈
m, do đó
a
=
x
n
−
(x
n
−
a)
∈
m.
*
∀ε >
0
∃n
0
:
∀n
≥
n
0
⇒ kx
n
−
ak ≤
ε
hay
lim
kx
n
−
ak
= 0.