CHO HÀM SỐ Y = F X ( ) VÀ F X ( )    0, X

Câu 49. Cho hàm số ^{y = f x} ( ) ^{và f x} ( ) ^{   0, x .} Biết hàm số ^{y = f '} ( ) ^x có bảng biên thiên như

hình vẽ và ^{1 137} .

f   =    

2 16

Có bao nhiêu giá trị nguyên của ^{m  −}  ^{2020; 2020}  để hàm số ^{g x} ( ) ^{= e − + x}

^{4 mx − 5 . f x} ( ) ^đồng

 − 

biến trên 1; ¹ .

 

 

2

A. 2019. B. 2020. C. 4040. D. 4041.

Hướng dẫn giải

Ta có ^{g x '} ( ) ( ^{= − + 2 x 4 m e} ) ^{. − + x}

^{4 mx − 5 . f x} ( ) ^{+ e − + x}

^{4 mx − 5 . ' f} ( ) ^x

( ) ( ) ( ) ( )

^{4 5}

 = − +   +  

' 2 4 . ' . ^{x mx} .

g x x m f x f x e ^{− + −}

    −     và ^{g x '} ( ) ^{= 0} chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm

Yêu cầu bài toán ^' ( ) ^{0, 1; 1}

g x x  2 

thuộc 1; ¹ .

( ^{2 4} ) ( ) ^{. '} ( ) ^{0, 1; 1}

 − + +    −     (vì e ^{− + x}

^{4 mx − 5}  0)

x m f x f x x  2 

( ) ( )

 

f x

' 1

 − +  −   −     (vì ^{f x} ( ) ^{   0, x )}

2 4 , 1; ,

x m x

f x

( ) ( ) ( )

  −   −  

4 2 , 1; * .

m x x

−    

" . '

= −   −     Ta có ( ) ( ) ( ) ( )

= −

' 2 f x f x f x .

h x f x

2 , 1; .

h x x x

Xét ( ) ( )

( )

 −  



   −         −  

f x f x f x f x

" 0 1 " . ' 1

         

x x

Mà ( )

, 1; 0, 1; .

( ) ( ) ( ) ( )



2 2

0

Từ đó suy ra ^' ( ) ^{0, 1; 1 .}

h x    − x    2    Vậy hàm số ^{h x} ( ) đồng biến trên 1; ¹ .

Bảng biến thiên:

   

f

     

1 1 2 225 225

            −      

Vậy điều kiện ( )

* 4 4 2. 4 .

m h m m m

2 2 1 137 548

   

   

m m

Lại có

  −

  ^ 1; 2;3;...; 2020 . ^

2020; 2020

m

Vậy có 2020 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.