2. CÁC VÍ DỤ VẬY YX   1 ( Y   1) ( X  1)( Y   1) O ( ) 2 , ...

3.2. Các ví dụ

Vậy y

x

  1 ( y   1) ( x  1)( y   1) O ( )

2

,

     .

2 2

( x 1) ( y 1)

VD 1. Khai triển Taylor ở lân cận điểm (1; 1) của hàm số

f x yy đến số hạng bậc hai.

( , )

x

Giải. Ta có:

VD 2. Khai triển Maclaurin của hàm số

f (1;1)  1 ;

( , ) cos( )

f x yxy đến số hạng bậc 4.

df x y ( , )  f x y dx

x

 ( , )  f x y dy

y

 ( , )

Giải. Ta có:

y

x

ln ydxxy dy

x1

df (1;1)  dy   y 1 ;

2 2 2

x y

2 2 ( ) 4

    

x yO

cos( ) 1 ( )

2!

2

( , )

x 2

2

xy y 2

d f x yf dx   f dxdy   f dy 

2 2

1 1

y

x

ln

2

ydx

2

 2 y

x1

( ln +1) x y dxdyx x (  1) y dy

x2 2

4 2 2 4 4

1 ( )

      ,   x

4

y

4

.

2 x x y 2 y O

d f

2

(1;1)  2 dxdy  2( x  1)( y  1) .

Chương 1. Hàm số nhiều biến số Chương 1. Hàm số nhiều biến số

VD 3. Khai triển Maclaurin của hàm số ze

x2

sin y đến

2

1

3

1

2 3

1

4

1

5

( )

5

       ,

y x y y x y x y y O

6 6 2 120

số hạng bậc 5.

5 5

   .

e

x

  xx  ;

1 ( ) ( ) ...

2 2

1

2 2

VD 4. Khai triển Maclaurin của hàm số z  (1  y )

x2

đến

2

số hạng bậc 6.

3 5

y y

ln(1 y)x xln(1 y)

y   y  

sin ...

ze

e

3! 5 !

     

1

2

ln(1 ) 1

4

ln (1

2

) ...

x y 2 x y

3 5x

y y

e y        xx         y          O

2

1

4 5

sin 1 ( )

Vậy

2

2 3 4

y y y

2 3 ! 5 !

      nên:

ln(1 ) ...

Do

3x2 3 4

1 ( ) ( )

z   x y               x yO

2

1

4 2 6

f x ye

y

. Tính vi phân d f

7

(0; 0) ?

( , )

1

VD 5. Cho hàm

2 3 4 2

2 2 2 3 2 4 4 2

x y x y x y x y

3 22 6

       ,

x y O

 

           

3 6

 

1

1 . 1 1 1 ...

e

y

x x

1 ( ) 2 1 ( )

6 6

Do 1 1 2 3 4 ...

  nên:

1 ( ) y y y y

y      

Nhận xét. Từ công thức khai triển Maclaurin, ta có:

2 4 4 2

1 1 1

x y x y

3 2 3 4

f x y x y y y y

     

( , ) 1 .(1 )

6 2 4 4 2

(0; 0)

d z      dx dydx dy .

6 ! 4 2 4 2

1 (1 ) ( ).

     

6 2 3 4 7

x y y y y O

Vậy d z

6

(0;0)   180 dx dy

2 4

 360 dx dy

4 2

.

§4. CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ

Số hạng bậc 7 trong khai triển là: