CHO LĂNG TRỤ ABC A B C . ′ ′ ′ CÓ ĐÁY LÀ TAM GIÁC ĐỀU CẠNH...

Câu 53. Cho lăng trụ ABC A B C . ′ ′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của điểm A ′ lên

mặt phẳng ( ^ABC ) trùng với trọng tâm tam giác ABC . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng

a . Khi đó thể tích của khối lăng trụ là

AA ′ và BC bằng ³

4

3

3

a . B.

a .

a . C.

a . D.

A.

12

3

24

6

Hướng dẫn giải

B' C'

A'

H

B C

M

G

A

Do ∆ ABC đều trọng tâm G và ^{A G ′ ⊥} ( ^ABC ) ^{nên A ABC ′ .} là hình chóp đều.

AM = a 3

AG a

Gọi M là trung điểm của BC , khi đó ³

⇒ = .

2

Gọi H là hình chiếu của M trên AA ′ . Khi đó do ^{BC ⊥} ( ^{AA M ′} ) ^{⇒ BC ⊥ HM nên HM là}

HM = a .

đường vuông góc chung của hai đường thẳng ^AA′ và BC . Do đó ³

A G ′ = x − a .

Đặt AA ′ = A B ′ = A C ′ = x , khi đó

²

²

a a a

x a

⇒ − = 2

x x

. .

Do 2 S

_∆

_{AA M}

_′

= A G AM ′ . = MH AA . ′ 3

²

²

3

2 3 4

2

3

A G ′ = a

_.

.

³

³

S

_∆

= a ,

V

_{′ ′ ′}

A G S ′

_∆

a

⇒ = = .

Do

ABC

4

ABC A B C

ABC

12

Chọn D