11. CHO TỨ DIỆN ABCD. CĨ CÁC ĐIỂM P, Q LẦN LƯỢT LÀ TRUNG ĐIỂM CỦ...

Bài 2.11. Cho tứ diện ABCD. Cĩ các điểm P, Q lần lượt là trung điểm của AB, CD; điểm R nằm trên cạnh BC sao cho BR = 2RC. Gọi S là giao điểm của mp(PQR) và cạnh AD. Chứng minh rằng AS = 2SD. HD Giải Gọi I=RQ∩BD, E là trung điểm của BR. Khi đĩ EB = ER = ARC và RQ // ED. Tam giác BRI cĩ ED // RQ, suy ra BD BEDI = ER =1PVậy DB = DI. Do đĩ AD và IP là hai đường trung tuyến của Stam giác ABI. Suy ra giao điểm S của AD và IP là trọng tâm của tam giác ABI và ta cĩ AS = 2DS D IBQERC

§3. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG

A. KIẾN THỨC CẦN NẮM I. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng Giữa đường thẳng d và mặt phẳng ( )α ta cĩ ba vị trí tương đối như sau: 1. d và ( )α cắt nhau tại A, kì hiệu ^{a∩( )P =}

{ }

^A

d

M

α

d cắt mp(α) tại M

2. d song song với( )α , kí hiệu d || ( )α hoặc ( ) || dα . Như vậy: Một đường thẳng và một mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng khơng cĩ điểm chung.

d // (α)

3. a nằm trong ( )P , kí hiệu d⊂( )α

d chứa trong (α)

II. Định lí và tính chất 1. Định lí 1. Nếu đường thẳng a khơng nằm trong mặt phẳng ( )P

β

và a song song với đường thẳng d nằm trong thì a song song với d ( )⊄ α 

d'

′ ⇒ αd || d d || ( )( )P ; nghĩa là: ⊂ α d ' ( )2. Định lí 2. Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng ( )P . Nếu

a

mặt phẳng ( )Q chứa a và cắt ( )P theo giao tuyến d thì d song song a / /( )α 

b

β ⊃ ⇒( ) a b || avới a; nghĩa là β ∩ α = ( ) ( ) bHệ quả 1. Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nĩ song song với một đường thẳng nào đĩ trong mặt phẳng. Hệ quả2. Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu cĩ) cũng song song với ( ) / / dα′β( ) / / d d || d⇒đường thẳng đĩ; nghĩa là ′( ) ( ) dα β∩ = 3. Định lí 3. Cho hai đường thẳng chéo nhau. Cĩ duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

M

b'

B. BÀI TẬP

V

ấn đề 1. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Phương pháp: Để chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng ( )α ta chứng minh d khơng ( ) ⊄d ⊂ ⇒α α( ) / /( )nằm trong ( )α và song song với đường thẳng a chứa trong ( )α . Tức là a d/ /d a