BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY CHO PHÉP LÀM GIẢM MỘT TỔNG

182. a) Điều kiện : x ≥ 1 , y ≥ 2. Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm giảm một tổng :

a b ab

+ ≥ 2 . Ở đây ta muốn làm tăng một tổng. Ta dùng bất đẳng thức : a b + ≤ 2(a

+ b )

A = x 1 − + y 2 − ≤ 2(x 1 y 3) − + − = 2

− = − =

 

x 1 y 2 x 1,5

= ⇔   + = ⇔   =

max A 2

x y 4 y 2,5

Cách khác : Xét A

rồi dùng bất đẳng thức Cauchy.

≤ +

ab 2

b) Điều kiện : x ≥ 1 , y ≥ 2. Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm trội một tích : a b

− = − − = −

x 1 1.(x 1) , y 2

Ta xem các biểu thức x 1 , y 2 − − là các tích : 2(y 2)

2

− = − ≤ + − =

Theo bất đẳng thức Cauchy : x 1 1.(x 1) 1 x 1 1

x x 2x 2

− = − ≤ + − = =

y 2 2.(y 2) 2 y 2 1 2

y y 2 2y 2 2 2 4

− = =

x 1 1 x 2

= + = + ⇔   − = ⇔   =

1 2 2 2

max B

y 2 2 y 4

2 4 4

= =

a , b