CHO TAM GIÁC ABC VỚI D, E, FLẦN LƯỢT LÀ TRUNG ĐIỂM CỦAABC, CA VÀ AB...

6. Cho tam giác ABC với D, E, Flần lượt là trung điểm của

A

BC, CA và AB. Một đườngthẳng đi quaA cắt DE, DF tại

N

M, N tương ứng. Gọi P là giao

P

điểm của BN, và CM. Chứng

F

E

minh rằng ba điểm E, F, Pthẳng hàng.

B

D

C

Nếu M N song song với BC thì dễ thấy AM DB, AN DC là hai hình bìnhhành. Suy raM N =BC, dẫn đếnM N BC cũng là hình bình hành. Nên haiđường chéoBM, CN cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Suy raP M =P B,lại có F là trung điểm AB nên F P song song với AM, dẫn đến song songvới CD. Tương tự ta cũng có P E song song với CD. Từ đây kết luận đượcP, E, F là ba điểm thẳng hàng.

8 8 8 8 8 8

NếuM N không song song với BC thì K là giao điểm của M N với EF (kéodài). GọiP

⁰

là giao điểm củaBM với EF. Theo định lý Thales áp dụng chohai tam giác đồng dạng KAF và KM E, ta cóKEP

⁰

F.BF = P

⁰

EAF = M EKF = M ELại có

_{N F}

^CE

=

^AE

_{N F}

=

^KE

_KF

, suy raCEN F = P

⁰

EP

⁰

F,tức là P

⁰

, N, C thẳng hàng. Suy ra P

⁰

trùng với P. Vậy nên P, E, F thẳnghàng.Người đề xuất: Nguyễn Lê Phước, Trần Quang Hùng.