TÌM M ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH X2 + 5X + ( M - 4 ) = 0 CĨ HAI NGHIỆM PHÂN BIỆTGIẢIĐỂ PHƯƠNG TRÌNH CĨ HAI NGHIỆM PHÂN BIỆT THÌ( )∆ = − − >25 4 4 0M⇔ − >41 4 041⇔ <4VÍ DỤ 2
2) Các ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình x
2
+ 5x + ( m - 4 ) = 0 cĩ hai nghiệm phân biệt
Giải
Để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt thì
( )
∆ = − − >
25 4 4 0
m
⇔ − >
41 4 0
41
⇔ <
4
Ví dụ 2: cho phương trình x
2
-2( m + 1 )x +4m = 0
a) Chứng minh rằng phương trình luơn cĩ nghiệm với mọi giá trị của m
x x
5
b)Tìm m để phương trình cĩ nghiệm x
1
và x
2
thoả mãn điều kiện
1
2
2
x + x =
2
1
a) Ta cĩ
2
2
∆ = + − = − +
1 4 2 1
m m m m
2
= − ≥
1 0
b) Theo vi ét ta cĩ x .x
1
2
= 2( m + 1);x
1
+ x
2
= 4 m
(
1
2
)
2
1 2
+ −
5 2 5
x x x x
+ = ⇔ =
1
2
2 2
2
1
1 2
− +
4 2.2( 1) 5
m m
⇔ =
+
2( 1) 2
⇔ − + = + ≠ −
m m m m
4 2.2( 1) 5( 1); 1
⇔ − − = ∆ = + = ∆ =
4 9 9 0; 81 144 225, 15
9 15 24
⇒ = = =
2
9 15 3
m = − = −
m +
8 8 3;
1
8 4
Ví dụ 3: Cho phương trình x
2
+ ( 2m – 1 )x – m = 0
a) Chừng minh rằng phương trình luơn cĩ nghiệm với mọi m
b)Tìm m để A x =
1
2
+ x
2
2
− 6 x x
1 2
đạt giá trị nhỏ nhất
Ví dụ 4:Cho phương trình bậc hai x
2
– 2(m + 1)x + m
2
+ 3 = 0
a)Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để phương trình có nghiệm là 2, tìm nghiệm còn lại
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
và x
2
thoả mãn x +x 8
1
2
2
2
=
Ví dụ 5: Tìm các giá trị của m để các nghiệm của phương trình
a) x
2
+ ( m − 2 ) x m + + = 5 0 Thoả mãn x
1
2
+ x
2
2
= 10
b) x
2
− mx + ( m − = 1) 0 Thoả mãn x x
1 2
+ 2 ( x
1
+ x
2
) − = 19 0
Ví dụ 6: Cho phương trình x
2
− ( m + 3 ) x + 2( m + = 2) 0
a) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để phương trình có nghiệm thoả mãn x
1
= 2 x
2
c) Chứng tỏ rằng A = 2 ( x
1
+ x
2
) − x x
1 2
độc lập với m
Ví dụ 7: Cho phương trình bậc hai (m – 4)x
2
– 2( m – 2)x + m – 1 = 0
a ) Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt
1 1
x + x = 5
b) Tìm m để
c) Tìm hệ thức giữa x
1
và x
2
độc lập với m
giải
− −
2 4 2 4 4
= ⇒ − = − =
S S
− − − (1)
4 4 4
m m m
1 1 3
P P
− − − (2)
− = ⇒ − = −
2 4
S S P
( ) ( )
3 2 4 1
−
1 3
P
Lấy (1) chia cho (2) ta cĩ:
⇒ − − =
3 4 2 0
S P
⇒ + − − =
3( ) 4 2 0
II/ Dạng 2: Tìm giá trị của m để phương trình cĩ nghiệm kép
Phương pháp tính ∆ rồi xét ∆ = 0 thì phương trình cĩ nghiệm kép
Ví dụ 1:Tìm m để phương trình x
2
− 3 mx + (2 m
2
− − = m 1) 0 cĩ nghiệm kép tìm n kép
đĩ
( ) Giải
∆ = − − − = − + + = +
2
2
2
2
2
9 m 4 2 m m 1 9 m 8 m 4 m 4 ( m 2)
Phương trình cĩ nghiệm kép khi ∆ = ( m + 2)
2
= ⇒ = − 0 m 2
x = = x m = − = −
Nghiệm kép đĩ là
1
2
3 6
2 2 3
Ví dụ 2: Tìm các giá trị của m để mỗi phương trình sau cĩ nghiệm kép tìm nghiệm
kép đĩ
+ + + =
a mx m
) 2( 2) 9 0
− − + − =
)( 4) 2 2 0
b m x mx m
+ − + − =
2
3
2
)( 1) ( 1) 0
c m x m x m m
+ − + =
d m x mx m
)( 3) 0
III/ Dạng 3: Tìm điều kiện để hai phương trình cĩ nghiệm chung
Ví dụ 1: Tìm m để hai phương trình sau x
2
+ mx + = 1 0 và x
2
+ + = x m 0 cĩ nghiệm
chung tìm nghiệm chung đĩ
Giả sử x
0
là nghiệm chung của hai phương trình ta cĩ x
0
2
+ mx
0
+ = 1 0 và
x + + = x m
0
0
0
Trừ vế với vế của mỗi phương trình ta được ( m – 1)(x
0
– 1) = 0
a)Nếu m = 1 thì hai phương trình đã cho trở thành x
2
+ x +1 = 0
Phương trình này vơ nghiệm do ∆ = − < 3 0
Vậy m ≠ 1 do đĩ x
0
= 1
Thay x
0
= 1 vào phương trình (1)ta được m = -2
-Với m = -2 thì phương trình x
2
– 2x + 1 = 0 cĩ nghiệm kép x
1
= x
2
= 1
Phương trình x
2
+x – 2 = 0cĩ nghiệm x
3
= 1; x
4
= -2
Ví dụ 2: x
0
= 1ới giá trị nào của m thì hai phương trinh sau
2 x
2
+ (3 m + 1) x − = 9 0 và 6 x
2
+ (7 m − 1) x − = 19 0 cĩ ít nhất một nhiệm
chung tìm nhiệm chung đĩ.
Ví dụ 3: Tìm m để hai phương trình sau cĩ nghiệm chung
2
( 2) 0
x + + x m − = và x
2